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Red (matemática)

generalización topológica del concepto de sucesión, de tal manera que no necesariamente tenga una cantidad numerable de elementos

En matemáticas, una red es la generalización del concepto de sucesión, de tal manera que no necesariamente tenga una cantidad numerable de elementos. Es el concepto más adecuado (o también su equivalente de filtro) para estudiar la convergencia en un espacio topológico.

DefiniciónEditar

Conjunto dirigidoEditar

Un conjunto dirigido es un par   en el que   es un conjunto y   es una relación en   que verifica las siguientes propiedades:

  1.   (propiedad reflexiva).
  2.   tales que   e  , se cumple entonces que   (propiedad transitiva).
  3.   tal que   e  .

Usualmente, la relación   se lee como "menor igual" (en forma intuitiva).

En particular, todo conjunto totalmente ordenado es un conjunto dirigido. Un ejemplo importante de conjunto dirigido es  , el conjunto de las vecindades de un punto   en un espacio topológico, dotado de la relación de inclusión, donde un conjunto se dirá "mayor" que otro si está incluido en él.

RedEditar

Una red en un conjunto   no es más que una aplicación   entre un conjunto dirigido   y un conjunto  . Se suele representar por  , donde  .

SubredEditar

Tal como en el contexto de sucesiones hay una noción de subsucesiones, en el concepto de redes también hay un concepto similar. Así, decimos que   es una subred de   (donde   son conjuntos dirigidos) si y solo si existe una función   que verifica las siguientes dos propiedades:

  1.   tal que  
  2.  

La primera condición refleja la idea intuitiva de que la sub-red se "vaya a infinito" junto con la red, mientras que la segunda es simplemente pedir que los puntos que tome sean efectivamente puntos de la red.

Es fácil ver que toda subred de una red es también una red.

ConvergenciaEditar

Límite de una redEditar

Sea   un espacio topológico y   una red en  . Se dice que   es un punto límite de la red   si la red está eventualmente en cada entorno de  , es decir, si cualquiera que sea el entorno   de   (esto es, cualquiera que sea el conjunto   de forma que exista un abierto   tal que  ) existe un   de tal forma que para cada   con   se cumple que  .

De la propia definición se desprenden de forma inmediata dos consecuencias:

  1. El límite de una red no siempre ha de existir. Existen redes que carecen de límite.
  2. En caso de existir, el límite de una red no necesariamente es un único elemento, sino que es un conjunto de elementos. En el caso de espacios topológicos con la propiedad de Hausdorff (i.e., T2), el límite, si existe, se reduce a un único punto.
  3. Toda sub-red de una red convergente converge al mismo límite que la red

Punto de AcumulaciónEditar

Bajo el mismo contexto anterior, se dice que una red   tiene como punto de acumulación (o acumula en)   si la red está frecuentemente en cada entorno de  , es decir, si para todo   entorno de  , y para todo   tal que  .

Es fácil ver que toda red convergente tiene a su límite como punto de acumulación. Se cumple además que   es punto de acumulación de una red si y solamente si existe una sub-red que converge a  . En este punto se encuentra la primera gran diferencia con sucesiones: una sucesión (que en particular es una red) tiene a   como punto de acumulación si y solo si existe una sub-red que tienda a  , pero esta sub-red no tiene porqué ser una sucesión también.

AplicacionesEditar

ContinuidadEditar

Así como en espacios métricos existe una caracterización de la continuidad mediante sucesiones, en espacios topológicos generales esta caracterización se hace mediante redes. Así, se cumple que si   son dos espacios topológicos,   será continua en el punto   si y solamente si para toda red  , se cumple que  

CompacidadEditar

Así como en espacios métricos se tiene que   es compacto si y solo si toda sucesión tiene un punto de acumulación, en espacios más generales se tiene el mismo resultado, pero con redes, es decir,   será compacto si y solo si toda red tiene un punto de acumulación.

Notar que en espacios métricos, casi todo lo que se puede hacer con redes también se puede hacer con sucesiones, y como estas últimas son más fáciles de manipular, usualmente se trabaja con ellas. Sin embargo, en espacios topológicos generales, las redes pueden ser de gran utilidad.

EjemplosEditar

El ejemplo más inmediato de red es el concepto de sucesión. En ellas, el conjunto dirigido es el conjunto de los números naturales con la relación de orden usual. Esto es así porque el conjunto de los números naturales con el orden usual es un conjunto totalmente ordenado.

Otro ejemplo esencial es el de función de variable real. En efecto, como el conjunto de los números reales junto con el orden usual es un conjunto totalmente ordenado, una función de variable real es una red.

Estos dos ejemplos son lo suficientemente importantes como para justificar el estudio de las redes.