Usuario:DiegoJaureRomero/Taller

La mesure de Lebesgue est une mesure qui étend le concept intuitif de volume​ à une très large classe de parties de l'espace. Comme l'a immédiatement perçu son inventeur, Henri Lebesgue, elle permet de bâtir une théorie de l'intégration très performante et fondamentale en analyse moderne : la théorie de l'intégrale de Lebesgue.

Définitions

Plusieurs constructions bien différentes de la mesure de Lebesgue sont connues. Chacune d'entre elles peut naturellement être prise pour définition ; dans le cadre d'un article où il faut toutes les évoquer, il est prudent de fournir en ouverture une définition plus unificatrice. Celle-ci, grosso modo, caractérise la mesure de Lebesgue comme la « meilleure »​ mesure donnant les valeurs auxquelles on s'attend sur les solides usuels — la considération des parallélépipèdes rectangles suffisant à conclure, et même les seuls parallélépipèdes aux côtés parallèles aux axes. Dans le théorème d'existence et d'unicité donné ci-dessous​, l'unicité est relativement facile alors que l'existence est la partie substantielle de la preuve : la difficulté est bien de construire la mesure souhaitée.

Dans l'énoncé qui suit, on entend par « pavés » les produits cartésiens d'intervalles bornés, c'est-à-dire les ensembles de la forme I{{ind|1}} × I{{ind|2}} × ... × I{{ind|n}}, où les I{{ind|i}} sont des intervalles de ℝ qui peuvent être fermés, ouverts ou semi-ouverts.{{Théorème|Théorème et définition|Il existe une plus petite mesure​ définie sur une tribu de ℝn qui soit complète et coïncide sur les pavés avec leur volume (c'est-à-dire le produit des longueurs de leurs côtés).

Cette mesure est appelée la mesure de Lebesgue et sa tribu de définition la tribu de Lebesgue.}}{{Théorème|Complément|La mesure de Lebesgue est la mesure complétée de sa restriction à la tribu des boréliens.

Cette restriction aux boréliens de la mesure de Lebesgue est parfois dénommée mesure de Borel-Lebesgue.}}{{Démonstration|Soit μ{{ind|1}} et μ{{ind|2}} deux mesures qui répondraient toutes les deux à la condition posée au théorème. On va d'abord montrer que μ{{ind|1}} et μ{{ind|2}} coïncident sur la tribu borélienne de ℝn. Pour chaque k ≥ 1 , on note E{{ind|k}} le pavé E{{ind|k}} = [–k,k]n. Les pavés inclus dans E{{ind|k}} constituent un système stable par intersection qui engendre la tribu borélienne de E{{ind|k}}, et sur le pavé E{{ind|k}} les restrictions à la tribu borélienne de μ{{ind|1}} et μ{{ind|2}} ont même masse finie (2k)n : par le lemme d'unicité des mesures de probabilité elles coïncident donc sur la tribu borélienne de E{{ind|k}}. Tout borélien de ℝn est ensuite union dénombrable croissante de ses intersections avec les E{{ind|k}}, ce qui permet d'assurer que μ{{ind|1}} et μ{{ind|2}} coïncident sur la tribu borélienne de ℝn.

Une fois cette étape franchie, la tribu ${\mathcal {M}}$ complétée de la tribu borélienne est la même pour μ{{ind|1}} et pour μ{{ind|2}}, les deux mesures μ{{ind|1}} et μ{{ind|2}} y coïncident encore nécessairement. Leur restriction commune à cette tribu est alors une mesure complète qui répond aux hypothèses. Par minimalité de μ{{ind|1}} et μ{{ind|2}}, elles sont toutes deux égales à cette restriction donc égales entre elles. Le complément est montré par la même occasion.}}On notera λ {{ind|n}} la mesure de Lebesgue et ${\mathcal {L}}_{n}$ la tribu de Lebesgue. Les éléments de cette tribu sont dits ensembles Lebesgue-mesurables ; en l'absence de référence à une tribu spécifique, c'est généralement ce qu'on entend quand on parle de « partie mesurable » de ℝ ou d'un espace à $n$ dimensions. La « mesure de Borel-Lebesgue » est le plus souvent appelée mesure de Lebesgue — ce n'est pas très gênant parce qu'une mesure et sa complétée partagent bon nombre de caractéristiques et notamment ont les mêmes espaces de fonctions intégrables. Le lecteur rencontrant une allusion à la « mesure de Lebesgue » restera tout de même sur ses gardes, notamment en théorie des mesures produits et des intégrales multiples où les énoncés peuvent être légèrement différents pour l'une et l'autre de ses variantes​.

Comme indiqué plus bas, la mesure de Lebesgue est invariante sous toute isométrie euclidienne de ℝⁿ. Ceci justifie la validité de la définition qui suit :{{Théorème|Définition|On appelle mesure de Lebesgue sur un espace euclidien E la mesure image de la mesure de Lebesgue sur ℝn par n'importe quelle isométrie de ℝn dans E.}}Enfin la terminologie « mesure euclidienne » est aussi utilisée pour sa restriction aux parties mesurables :{{Théorème|Définition|Soit A une partie Lebesgue-mesurable d'un espace euclidien E. On appelle mesure de Lebesgue sur A la restriction à A de la mesure de Lebesgue de E.}}

Propriétés

• La mesure de Lebesgue est σ-finie, un espace euclidien étant manifestement réunion croissante de cubes emboités de volumes de plus en plus gros mais tous finis.
• La mesure de Lebesgue est invariante sous toutes les isométries. Elle est en particulier invariante sous les translations : c'est une mesure de Haar du groupe topologique ℝⁿ.
• La mesure de Lebesgue est finie sur tout compact, chaque compact, qui est borné, pouvant être enfermé dans un cube. Elle est par voie de conséquence régulière, ℝⁿ étant métrisable, localement compact et séparable.

Constructions de la mesure de Lebesgue

Prouver l'existence dans le théorème utilisé ici comme définition est un travail substantiel : il s'agit de construire la mesure. On peut distinguer trois familles de constructions​ :

• la construction originale de Lebesgue et les variantes qui ont pu lui être apportées (notamment par Constantin Carathéodory) construisent la mesure hors de toute théorie de l'intégration. Les manipulations ne font intervenir que des fonctionnelles définies sur des ensembles de parties. Une fois la mesure construite, on l'utilise pour fonder une nouvelle théorie de l'intégration des fonctions ;
• la preuve du théorème de représentation de Riesz est l'occasion d'inventer une autre voie d'approche. On part d'une théorie plus élémentaire de l'intégrale (typiquement celle de l'intégrale de Riemann) qu'on applique à une classe de fonctions particulièrement faciles à intégrer, les fonctions continues à support compact. À partir de ces fonctions on définit la mesure sur les ouverts, une classe d'ensembles plus riche que celle des pavés mais bien plus restreinte que la classe borélienne ; puis on étend cette théorie de la mesure à la tribu de Lebesgue par des procédés du même esprit que ceux de la preuve de Lebesgue, mais techniquement plus simples. La construction subséquente de l'intégrale générale à partir de la mesure est la même que dans la première construction ;
• initiée par William H. Young et relancée par les travaux de Percy Daniell, une troisième approche consiste à construire la théorie de l'intégration de Lebesgue sans référence à une théorie de la mesure, en manipulant cette fois des fonctionnelles définies sur des familles de fonctions appropriées (fonctions semi-continues) et d'obtenir la construction de la mesure comme sous-produit une fois achevée la construction de l'intégrale.

Dans tous les cas, la construction repose sur la définition de concepts de mesure intérieure et mesure extérieure, ou d'intégrale inférieure et intégrale supérieure. Ces fonctionnelles sont définies sur toutes les parties de ℝⁿ (pour les mesures) ou toutes les fonctions positives sur ℝⁿ (pour les intégrales), mais peuvent prendre deux valeurs différentes. En se restreignant aux ensembles (ou fonctions) où elles coïncident, on constate avoir construit une riche théorie de la mesure (ou de l'intégration).

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En el ámbito de la matemática se denomina serie divergente a una serie infinita que no es convergente, por lo tanto la secuencia infinita de las sumas parciales de la serie no tiene un límite.

Si una serie converge, los términos individuales de la serie deben aproximarse a cero. Así, una serie en la que los términos individuales no se aproximan a cero, es una serie divergente. Sin embargo, la convergencia es una condición más fuerte, no todas las series cuyos términos tienden a cero son convergentes. El contraejemplo más simple es la serie armónica:

$1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}.$

Si bien en la serie armónica los términos tienden a cero, la misma es divergente. La divergencia de esta serie fue demostrada por el matemático medieval Nicole Oresme^{[cita requerida]}.

A veces es posible asignarle un valor a las series divergentes utilizando un método de sumación. Por ejemplo, la sumación de Cesàro le asigna a la serie divergente de Grandi el valor ½

$1-1+1-1+\cdots ={0}$.

Propiedades de los métodos de sumación

Si A es una función que le asigna un valor a una sucesión, es conveniente que posea ciertas propiedades si es que se pretende que sea un método de sumación útil.

1. Regularidad. Un método es regular si, toda vez que la sucesión s converge a x, A(s) = x.
2. Linealidad. A es lineal si es funcionalmente lineal sobre sucesiones convergentes, de forma tal que A(r + s) = A(r) + A(s) y A(ks) = kA(s), para k un escalar (real o complejo)
3. Estabilidad. Si s es una sucesión que comienza en s₀ y s′ es la sucesión obtenida al truncar el primer valor, por lo que comienza en s₁, entonces A(s) es definida si y solo si A(s´) es definida, y A(s) = A(s′).

La tercera condición es menos importante, y existen algunos métodos destacados, por ejemplo el método de sumación de Borel, que no la satisfacen.

Una propiedad deseable entre dos métodos de sumación A y B es que posean consistencia: A y B son consistentes si para toda sucesión s a la que ambos le asignan un valor, A(s) = B(s). Si dos métodos son consistentes, y uno suma más series que el otro, se suele decir que aquel que suma más series es más potente.

De todas formas es conveniente notar que existen métodos de sumación poderosos que sin embargo no son ni lineales ni regulares, por ejemplo las transformaciones de sucesiones no lineales como las transformaciones de sucesiones tipo Levin y las aproximaciones de Padé.

Promedio abeliano

Sea λ_n una sucesión estrictamente creciente que tiende hacia ∞, y λ₀ ≥ 0. Sea a_n=s_n+1-s_n una serie infinita, cuya sucesión correspondiente es s. Suponiendo que

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\exp(-\lambda _{n}x)$

converge para todos los números reales positivos x, entonces el promedio abeliano A_λ se define como

$A_{\lambda }(s)=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}f(x).$

Una serie de este tipo es llamada serie generalizada de Dirichlet; en el ámbito de la física, este método es conocido como regularización del heat-kernel.

Los promedios abelianos son regulares, lineales y estables, pero no siempre resultan ser consistentes entre sí. Sin embargo, existen algunos casos especiales de promedios abelianos que son métodos de sumación muy importantes.

Sumación de Abel

Si λ_n = n, entonces se obtiene el método de Sumación de Abel. Donde

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\exp(-nx)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},$

con z = exp(-x). Por lo tanto, el límite de f(x), cuando x tiende a 0 desde los reales positivos, es el límite de la serie de potencias para f(z) cuando z tiende a 1 por abajo desde los reales positivos, y la suma de Abel A(s) se define como:

$A(s)=\lim _{z\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.$

La sumación de Abel en parte es interesante porque es consistente con la sumación de Cesàro aunque es más potente que ésta; si C_k(s) = a para todo k positivo, entonces A(s) = a. Por lo tanto la suma de Abel es regular, lineal, estable, y consistente con la sumación de Cesàro.

Demostración Regla de la Cadena

Notemos $b=f(a)$. Dado que $g$ es diferenciable en $b$, desde la definición de la derivada, existe una función $u:J\to \mathbb {R}$ tal que

$u(b)=\lim _{y\to b}u(y)=g'(b)\quad {\text{ y }}\quad \forall y\in J\quad g(y)-g(b)=u(y)\cdot (y-b)$.

En particular (utilizando que $f$ es continua en $a$ puesto que ella es diferenciable en ese punto):

$\lim _{x\to a}u(f(x))=g'(b)\quad {\text{ y }}\quad \forall x\in I\quad g(f(x))-g(f(a))=u(f(x))\cdot (f(x)-f(a))$.

La tasa de variación en el punto $a$ de la función $g\circ f$ se expresa entonces bajo la forma:

${\frac {g(f(x))-g(f(a))}{x-a}}=u(f(x))\cdot {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

Y cuando $x$ tiende hacia $a$ (para valores distintos de $a$), esta expresión tiende hacia $g'(b)\cdot f'(a)=g'(f(a))\cdot f'(a)$.

Observación

Existe una demostración de este teorema, aparentemente más simple que utiliza la astucia

${\dfrac {g(f(x))-g(f(a))}{x-a}}={\dfrac {g(f(x))-g(f(a))}{f(x)-f(a)}}\cdot {\dfrac {f(x)-f(a)}{x-a}}$,

pero esta demostración es errónea porque ella supone que $f(x)\neq f(a)$ para todo $x$ suficientemente cerca de $a$, lo cual no tiene ninguna razón de ser.

Notons $b=f(a)$. Puisque $g$ est dérivable en $b$, d'après la seconde définition de la dérivabilité, il existe une fonction $u:J\to \mathbb {R}$ telle que

$u(b)=\lim _{y\to b}u(y)=g'(b)\quad {\text{et}}\quad \forall y\in J\quad g(y)-g(b)=u(y)\times (y-b)$.

En particulier (en utilisant que $f$ est continue au point $a$ puisqu'elle est même dérivable en ce point) :

$\lim _{x\to a}u(f(x))=g'(b)\quad {\text{et}}\quad \forall x\in I\quad g(f(x))-g(f(a))=u(f(x))\times (f(x)-f(a))$.

Le taux de variation au point $a$ de la fonction $g\circ f$ s'exprime alors sous la forme :

${\frac {g(f(x))-g(f(a))}{x-a}}=u(f(x))\times {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

et quand $x$ tend vers $a$ (par valeurs distinctes de $a$), cette expression tend vers $g'(b)\times f'(a)=g'(f(a))\times f'(a)$.

Remarque

Il existe une démonstration de ce théorème, apparemment plus simple, qui utilise l'« astuce »

${\dfrac {g(f(x))-g(f(a))}{x-a}}={\dfrac {g(f(x))-g(f(a))}{f(x)-f(a)}}\times {\dfrac {f(x)-f(a)}{x-a}}$,

mais cette démonstration est erronée car elle suppose que $f(x)\neq f(a)$ pour tout $x$ suffisamment proche de $a$, ce qui n'a aucune raison d’être.

Véase también

• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• Test de divergencia

Referencias

• Divergent Series by G. H. Hardy, Oxford, Clarendon Press, 1949.
• Extrapolation Methods. Theory and Practice by C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, North-Holland, 1991.
• Padé Approximants by G. A. Baker, Jr. and P. Graves-Morris, Cambridge U.P., 1996.