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Serie armónica (matemática)

concepto en matemática

Se llama serie armónica (en matemáticas) a aquella que suma los inversos multiplicativos de los enteros positivos, denotándola con la siguiente serie infinita:


Se llama así porque la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra es inversamente proporcional a la longitud de dicha cuerda [1]​según la serie de fracciones unitarias: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7... Es decir que la constante de proporcionalidad es 1.

PropiedadesEditar

Divergencia de la serie armónicaEditar

La serie armónica es divergente, aunque diverge lentamente (los primeros 1043 términos de la serie suman menos que 100). Esto se puede demostrar haciendo ver que la agrupación de los términos de la serie armónica:

 

son mayores, que esta otra serie:

 
 

que está claro que diverge y por consecuencia la serie armónica también diverge. Esta prueba fue dada por Nicolás Oresme en (1350) y fue un gran paso para las matemáticas medievales en particular[2]

Prueba por qué diverge

Se tiene la desigualdad  , n es número entero positivo. Entonces

 
 
 
.........................
 
Sumando miembro a miembro: serie armónica  
en el limite  
Por tanto la serie armónica diverge. [3]

Otras series, como la suma de los inversos de los números primos diverge, aunque esto ya es más difícil de demostrar (véase la demostración aquí).

Convergencia de la serie armónica alternadaEditar

La serie armónica alternada, sin embargo, converge:

 

Esta es una consecuencia de la serie de Taylor del logaritmo natural.

Serie armónica parcialEditar

RepresentaciónEditar

Si definimos el n-ésimo número armónico como:

 

entonces Hn crece aproximadamente tan rápido como el logaritmo natural de n. Esto es así porque la suma se aproxima a la integral

 

cuyo valor es log(n).

Con más precisión, tenemos el límite:

 

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni.

Se puede demostrar que:

  1. El único Hn que es entero es H1.
  2. La diferencia Hm - Hn donde m>n nunca es entera.


Entre las representaciones para Hn, en las que n puede ser un número fraccionario o negativo(no entero) están:

 

dada[4]​ por Leonhard Euler.

Y también

 

donde Ψ(n+1) es la función digamma y γ es la constante de Euler-Mascheroni.

Conexión con la hipótesis de RiemannEditar

Jeffrey Lagarias demostró en 2001 que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación:

 

donde σ(n) es la suma de los divisores positivos de n.[5]

Serie armónica generalizadaEditar

Las series armónicas generalizadas se definen de la siguiente forma:

 

Como principal propiedad tenemos que todas estas series son divergentes.

p-seriesEditar

La p-serie (o serie de las p) es cualquiera de las series

 

para p número real positivo. La serie es convergente si p > 1 y divergente en otro caso. Cuando p = 1, la serie es la serie armónica. Si p > 1, entonces la suma de la serie es ζ(p), es decir, la función zeta de Riemann evaluada en p.

Esto se puede utilizar para comprobar la convergencia de series.

Temas relacionadosEditar

NotasEditar

  1. «La serie armónica». 
  2. Leithold: Cálculo y geometría analítica, desarrolla la prueba
  3. P.P. Korovkin: Desigualdades Editorial Mir, Moscú, /1976
  4. Leonhard Euler, De summatione innumerabilium progressionum
  5. (Véase, en inglés, An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis, American Mathematical Monthly, volumen 109 (2002), páginas 534--543.)

ReferenciasEditar

  • Leonhard Euler, De summatione innumerabilium progressionum, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5, 1738, pp. 91-105 Reprinted In Opera Omnia: Series 1, Volume 14, pp. 25 - 41
  • Many proofs of divergence of harmonic series : "The Harmonic Series Diverges Again and Again", The AMATYC Review, 27 (2006), pp. 31-43. (en inglés)
  • An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis, American Mathematical Monthly, volume 109 (2002), pages 534--543.
  • Oresme, N. (1350) "Quaestiones super geometriam Euclidis", Edited by H. L. L.Busard. Janus, suppléments, Vol. III, E. J. Brill, Leiden, 1961.

Enlaces externosEditar