Cúbica resolvente

polinomio cúbico cuya resolución permite determinar las raíces de una ecuación de cuarto grado

En álgebra, una ecuación cúbica resolvente es uno de varios polinomios cúbicos distintos, aunque relacionados, definidos a partir de un polinomio mónico de grado cuatro:

Gráfico de la función polinómica x4 + x3x2 – (7/4)x – 1/2 (en verde) junto con el gráfico de su cúbica resolvente R4(y) (en rojo). Las raíces de ambos polinomios también son visibles

En cada caso:

  • Los coeficientes de la cúbica resolvente se pueden obtener a partir de los coeficientes de utilizando solo sumas, restas y multiplicaciones.
  • Conocer las raíces de la cúbica resolvente de es útil para encontrar las propias raíces de . De ahí el nombre de "cúbica resolvente".
  • El polinomio tiene una raíz múltiple si y solo si su cúbica resolvente tiene una raíz múltiple.

Definiciones

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Supóngase que los coeficientes de   pertenecen a un cuerpo   cuya característica es diferente de dos. En otras palabras, se está trabajando en un campo en el que  . Siempre que se mencionan las raíces de  , pertenecen a alguna extensión   de   tal que   se factoriza en factores lineales en  . Si   es el conjunto   de números racionales, entonces   puede ser el conjunto de números complejos o el de los números reales.

En algunos casos, el concepto de cúbica resolvente se define solo cuando   es una ecuación cuártica en forma reducida, es decir, cuando  .

Téngase en cuenta que las definiciones cuarta y quinta que figuran a continuación también tienen sentido y que la relación entre estas cúbicas resolventes y   sigue siendo válida si la característica de   es igual a dos.

Primera definición

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Supóngase que   es una ecuación cuártica reducida, es decir, que  . Una posible definición de la cúbica resolvente de   es:[1]

 

El origen de esta definición radica en aplicar el método de Ferrari para encontrar las raíces de  . Para ser más precisos:

 

Agregando una nueva incógnita   a  , se obtiene:

 

Si esta expresión es un cuadrado, solo puede ser el cuadrado de

 

Pero la igualdad

 

es equivalente a

 

y esto es lo mismo que la afirmación de que  .

Si   es una raíz de  , entonces es una consecuencia de los cálculos realizados anteriormente para concluir que las raíces de   son las raíces del polinomio

 

junto con las raíces del polinomio

 

Por supuesto, esto no tiene sentido si  , pero dado que el término constante de   es  , entonces   es una raíz de   si y solo si  , y en este caso las raíces de   se pueden encontrar usando la fórmula cuadrática.

Segunda definición

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Otra posible definición[1]​ (todavía suponiendo que   es una ecuación cuártica reducida) es

 

El origen de esta definición es similar a la anterior. Esta vez, se comienza haciendo:

 

y un cálculo similar al anterior muestra que esta última expresión es un cuadrado si y solo si

 

Un cálculo simple muestra que

 

Tercera definición

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Otra posible definición[2][3]​ (nuevamente, suponiendo que   es una ecuación cuártica reducida) es

 

El origen de esta definición radica en otro método para resolver ecuaciones cuárticas, a saber, el método de Descartes. Si se intenta encontrar las raíces de   expresándolas como producto de dos polinomios mónicos cuadráticos   y  , entonces

 

Si hay una solución de este sistema con   (teniendo en cuenta que la solución del sistema es cierta si  ), el sistema anterior es equivalente a

 

Esto es una consecuencia de las dos primeras ecuaciones, entonces

 

y

 

Después de reemplazar, en la tercera ecuación,   y   por estos valores se obtiene

 

y esto es equivalente a la afirmación de que   es una raíz de  . Entonces, nuevamente, conocer las raíces de   ayuda a determinar las raíces de  .

Téngase en cuenta que

 

Cuarta definición

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Aún es posible otra definición[4]

 

De hecho, si las raíces de   son   y  , entonces

 

Es un hecho deducido de las relaciones de Cardano-Vieta. En otras palabras,   es el polinomio mónico cuyas raíces son  ,   y  .

Es fácil ver esto, dado que

 
 
 

Por lo tanto,   tiene una raíz múltiple si y solo si   tiene una raíz múltiple. Más precisamente,   y   tienen el mismo discriminante.

Se debe tener en cuenta que si   es un polinomio reducido, entonces

 

Quinta definición

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Otra definición más es[5][6]

 

Si las raíces de   son   y  , entonces:

 

nuevamente como consecuencia de las relaciones de Cardano-Vieta. En otras palabras,   es el polinomio mónico cuyas raíces son  ,   y  .

Es fácil ver esto, pues

 
 
 

Por lo tanto, como sucede con  ,   tiene una raíz múltiple si y solo si   tiene una raíz múltiple. Más precisamente,   y   tienen el mismo discriminante. Esto también es una consecuencia del hecho de que  .

Téngase en cuenta que si   es un polinomio cuártico reducido, entonces:

 

Aplicaciones

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Resolución de ecuaciones cuárticas

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Se explicó anteriormente cómo pueden usarse  ,   y   para encontrar las raíces de   si este polinomio está reducido. En el caso general, simplemente se tienen que encontrar las raíces del polinomio reducido  . Para cada raíz   de este polinomio,   es una raíz de  .

Factorización de polinomios cuárticos

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Si un polinomio cuártico   es reducible en  , entonces es el producto de dos polinomios cuadráticos o el producto de un polinomio lineal por un polinomio cúbico. Esta segunda posibilidad ocurre si y solo si   tiene una raíz en  . Para determinar si   puede expresarse o no como el producto de dos polinomios cuadráticos, suponiendo, por simplicidad, que   es un polinomio reducido. Como se vio anteriormente, si la cúbica resolvente   tiene una raíz no nula de la forma   para algunos  , entonces existe tal descomposición polinómica.

Esto puede usarse para demostrar que, en  , cada polinomio cuártico sin raíces reales puede expresarse como el producto de dos polinomios cuadráticos. Sea   tal polinomio, se puede suponer sin pérdida de generalidad que   es un polinomio mónico. También se puede suponer sin pérdida de generalidad que es un polinomio reducido, porque   puede expresarse como el producto de dos polinomios cuadráticos si y solo si   puede hacerlo y este polinomio es uno reducido. Entonces  . Hay dos casos:

  • Si   entonces  . Dado que   si   es lo suficientemente grande, entonces, según el teorema del valor intermedio,   tiene una raíz   con  . Entonces, se puede tomar  .
  • Si  , entonces  . Las raíces de este polinomio son cero y las raíces del polinomio cuadrático  . Si  , entonces el producto de las dos raíces de este polinomio es menor que 0 y por lo tanto tiene una raíz mayor que cero (que resulta ser  ) y se puede tomar   como la raíz cuadrada de esa raíz. De lo contrario,  , y entonces
 

En términos más generales, si   es un cuerpo cerrado real, entonces cada polinomio cuártico sin raíces en   puede expresarse como el producto de dos polinomios cuadráticos en  . De hecho, esta declaración puede expresarse en lógica de primer orden y cualquier declaración que se mantenga para   también se cumple para cualquier campo cerrado real.

Se puede usar un enfoque similar para obtener un algoritmo[2]​ para determinar si un polinomio cuártico   es reducible y, si es así, cómo expresarlo como un producto de polinomios de menor grado. Nuevamente, supondremos que   es mónico y reducido. Entonces   es reducible si y solo si se cumple al menos una de las siguientes condiciones:

  • El polinomio   tiene una raíz racional (esto se puede determinar utilizando el teorema de la raíz racional).
  • La cúbica resolvente   tiene una raíz de la forma  , para algún número racional no nulo   (de nuevo, esto se puede determinar utilizando el teorema de la raíz racional).
  • El número   es el cuadrado de un número racional, y además  .

En efecto:

  • Si   tiene una raíz racional  , entonces   es el producto de   por un polinomio cúbico en  , que puede determinarse por división polinómica o por la regla de Ruffini.
  • Si hay un número racional   tal que   es una raíz de  , ya se mostró anteriormente cómo expresar   como producto de dos polinomios cuadráticos en  .
  • Finalmente, si se cumple la tercera condición y si   es tal que  , entonces  .

Grupos de Galois de polinomios cuárticos irreducibles

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La cúbica resolvente de un polinomio cuártico irreducible   puede usarse para determinar su grupo de Galois G; es decir, el grupo de Galois del campo de división de  . Sea   el grado sobre   del campo de división de la cúbica resolvente (puede ser   o  ; tienen el mismo campo de división). Entonces, el grupo   es un subgrupo del grupo simétrico  . Más precisamente:[4]

  • Si   (es decir, si los factores cúbicos resolventes en factores lineales en  ), entonces G es el grupo {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.
  • Si   (es decir, si la cúbica resolvente tiene una y, salvo multiplicidad, solo una raíz en  ), entonces, para determinar  , se puede determinar si   sigue siendo irreducible después de unir al campo   las raíces de la cúbica resolvente. De lo contrario, entonces   es un grupo cíclico de cuarto orden; más precisamente, es uno de los tres subgrupos cíclicos de   generado por cualquiera de sus seis ciclos cuádruples. Si aún es irreducible, entonces   es uno de los tres subgrupos de   de octavo orden, cada uno de los cuales es isomorfo al grupo diédrico de octavo orden.
  • Si  , entonces   es el grupo alternante  .
  • Si  , entonces   es todo el grupo  .

Véase también

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Referencias

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  1. a b Tignol, Jean-Pierre (2016), «Quartic equations», Galois' Theory of algebraic equations (Segunda edición), World Scientific, ISBN 978-981-4704-69-4 . Error en la cita: Etiqueta <ref> no válida; el nombre «Tignol» está definido varias veces con contenidos diferentes
  2. a b Brookfield, G. (2007), «Factoring quartic polynomials: A lost art», Mathematics Magazine 80 (1): 67-70, archivado desde el original el 21 de febrero de 2015, consultado el 5 de enero de 2020 .
  3. Hartshorne, Robin (1997), Geometry: Euclid and Beyond, Springer-Verlag, ISBN 0-387-98650-2 .
  4. a b Kaplansky, Irving (1972), Fields and Rings, Chicago Lectures in Mathematics (Segunda edición), University of Chicago Press, ISBN 0-226-42451-0 . Error en la cita: Etiqueta <ref> no válida; el nombre «Kaplanski» está definido varias veces con contenidos diferentes
  5. Rotman, Joseph (1998), «Galois groups of quadratics, cubics, and quartics», Galois' Theory (Segunda edición), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98541-7 .
  6. van der Waerden, Bartel Leendert (1991), Algebra 1 (Séptima edición), Springer-Verlag, ISBN 0-387-97424-5 .