Conjugación (teoría de grupos)

En álgebra abstracta, y más concretamente en teoría de grupos, se denomina conjugación a un tipo de acción de un grupo sobre sí mismo. Un ejemplo de este tipo de operación es la semejanza de matrices.

Sea un grupo, y sea uno de sus elementos. Se denomina conjugado de por al elemento . Entonces se dice que los elementos y son conjugados.

La conjugación como relación

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En un grupo, se puede definir la relación:

  para algún  .

tal que   está relacionado con   precisamente si   y   son conjugados. La relación así definida es una relación de equivalencia.[1]

Demostración

La relación   es:

  • Reflexiva:   luego  .
(donde   es el elemento neutro del grupo).
  • Simétrica: si   entonces  .
  • Transitiva: si   y   entonces

  luego  .

Por tanto, los elementos conjugados de un elemento   forman una clase, llamada clase de conjugación de  :[2]

 .

Como la conjugación por un elemento fijo del grupo es un isomorfismo de grupos, cada dos elementos de una misma clase de conjugación son indistinguibles desde el punto de vista de la estructura de grupo. En particular, tienen el mismo orden.

Ejemplos

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  • La clase de conjugación del neutro contiene solo al neutro:  . Lo mismo ocurre con los demás elementos del centro del grupo. Esto caracteriza a los elementos del centro.
  • Dos permutaciones de un grupo simétrico   están en la misma clase de conjugación si y solo si los ciclos en sus descomposicones en ciclos disjuntos tienen las mismas longitudes. Por lo tanto, el número de clases de   es el número de particiones de  .
  • Dado un subgrupo de un grupo  , siempre que dos elementos de   son conjugados en  , también lo son en  ; sin embargo, el ser conjugados en   no implica que lo sean en  . Por ejemplo, las permutaciones   y   son conjugadas en   —son ciclos de la misma longitud— pero no lo son en el grupo alternado  , que es abeliano.

Acción de grupo

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Considérese la acción de   sobre sí mismo

 

que viene dada por la conjugación sucesiva por los diferentes elementos  . Bajo este punto de vista:

  • la órbita de un elemento   bajo la acción   es la clase de conjugación de dicho elemento.
  • el estabilizador de un subconjunto bajo la acción   es el normalizador de dicho subconjunto. Cuando se trata de un único elemento   decimos que es el centralizador de  .

Conjugación de subconjuntos y subgrupos

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Dado un subconjunto  , se define el conjugado de   por un elemento   como el subconjunto:

 

En particular, si el subconjunto original es un subgrupo  , entonces el conjugado de   por cualquier elemento   es también un subgrupo.

Referencias

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  1. Artin, 2010, p. 53.
  2. Gallian, 2012, p. 409.

Bibliografía

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  • Artin, M. (2010). Algebra (2ª edición). Pearson. 
  • Gallian, Joseph A. (2012). Contemporary Abstract Algebra (8ª edición). Brooks/Cole. ISBN 1-133-59970-2.