Cono (topología)

En topología y, en particular, en topología algebraica, el cono $CX$ de un espacio topológico $X$ es el espacio cociente siguiente:

Cono de un espacio topológico. El espacio original está pintado de rojo.

$CX=(X\times [0,1])/(X\times \{1\})$

Intuitivamente, se forma un cilindro con base $X$ y se identifican todos los puntos de la cara superior en un solo punto, formando un cono.

Ejemplos

• El cono construido sobre un punto $\{p\}$ de la recta real $\mathbb {R}$ es el segmento $\{p\}\times [0,1]$ de $\mathbb {R} ^{2}$.
• El cono construido sobre dos puntos $\{0,1\}$ es un espacio "en forma de V" con extremos en 0 y 1.
• El cono construido sobre un intervalo real $I\subseteq \mathbb {R}$ es un triángulo plano (con su interior).
• El cono construido sobre un polígono $P$ es una pirámide de base $P$.
• El cono construido sobre un disco es el cono sólido de la geometría clásica. De aquí recibe el nombre el concepto topológico.
• El cono construido sobre una circunferencia es la superficie del cono anterior: $\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}=(1-z)^{2},\ 0\leq z\leq 1\}$. Este último es homeomorfo, proyectándolo sobre el plano XY, al disco $\mathbb {D} ^{2}$.
• Generalizando el ejemplo anterior, se tiene que $C\mathbb {S} ^{n}\simeq \mathbb {D} ^{n+1}$, es decir, el cono de una n-esfera es homeomorfo a una (n+1)-bola.
• El cono construido sobre un n-símplex es un (n+1)-símplex.

Propiedades

El cono de un espacio es contráctil (en particular, conexo por caminos y simplemente conexo) pues la identidad es homótopa a constante (igual al vértice del cono) por la homotopía $H\colon CX\times [0,1]\rightarrow CX$ dada por $H(([(x,s)],t))=[(x,t+(1-t)s)]$, donde $[(x,s)]$ denota la clase de equivalencia de $(x,s)\in X\times [0,1]$ por la relación de equivalencia por la que se hace el cociente $CX=(X\times [0,1])/(X\times \{1\})$.

El cono se usa en topología algebraica precisamente porque transforma cualquier espacio topológico en un subespacio de un espacio contráctil: $X\simeq X\times \{1\}\subseteq CX$.

Referencias

• Hatcher, Allen (2001). Algebraic Topology. ISBN 978-0-521-79540-1. 
• Jänich, Klaus (2008). Topologia. Berlin: Springer. 

• Datos: Q1635267