Convergencia absoluta

En matemáticas, una serie (o a veces una integral) de números se dice que converge absolutamente si la suma de los valores absolutos de los términos (o integrandos) es finita.

Definición formalEditar

  se dice que es absolutamente convergente si la serie   .

En otras palabras, la serie es absolutamente convergente si la serie de valores absolutos es una serie convergente.

Convergencia absoluta y convergenciaEditar

La convergencia absoluta implica convergencia, aunque la afirmación recíproca no es verdadera.

Supongamos que   converge por hipótesis y que  , entonces por el Criterio de comparación, si   converge,   también lo hará.


Por propiedad del Valor Absoluto, es posible considerar:


 


Sumamos   término a término en la desigualdad:


 


  o sea:


Se aplica   miembro a miembro:


 


Pero por hipótesis,   converge, entonces por el Criterio de comparación,   también lo hará. (1)


Ahora, se considera:


 


 


 


  converge por (1).
  converge por hipótesis.


Entonces   converge por ser diferencia de series convergentes.

Convergencia condicionalEditar

Si la serie   es convergente pero no absolutamente convergente, entonces se dice que la serie es condicionalmente convergente. Esto sucede cuando   es divergente.

Véase tambiénEditar