Reglas de derivación

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Este es un resumen de reglas de diferenciación, esto es, reglas para calcular la derivado de una función en cálculo.

Reglas elementales de diferenciaciónEditar

A menos que se diga lo contrario, todas las funciones son funciones de números reales ( ) que regresan valores reales, es decir,  .

La diferenciación es linealEditar

Para cualesquier funciones   y   y cualesquiera números reales   y  , la derivada de la función   con respetar a   es

 

en la notación de Leibniz esto se escribe como:

 

Casos especiales incluyen:

  • La regla del producto por una constante
 
  • La regla de suma
 
  • La regla de la resta
 

La regla de productoEditar

Para las funciones   y  , la derivada de la función   con respecto a   es

 

En la notación de Leibniz esto se escribe como

 

La regla de cadenaEditar

La derivada de la función   es

 

En la notación de Leibniz esto se escribe como:

 

a menudo abreviado a

 

La regla de la función inversaEditar

Si la función   tiene como función inversa  , esto es,   y   entonces

 

En Leibniz notación esto se escribe como

 

Leyes de potencias, polinomios, cocientes y reciprocoEditar

La regla de la potenciaEditar

Si  , para cualquier número real   entonces

 

cuando   esto se convierte en el caso especial que si   entonces  

Combinando la regla de la potencia con la suma y las reglas del producto por una constante permite el cálculo de la derivada de cualquier polinomio.

La regla recíprocaEditar

La derivada de   para cualquier función   es:

 

siempre que   para toda  .

En la notación de Leibniz esto se escribe como

 

La regla recíproca puede ser obtenida a partir de la regla de cociente o de la combinación de regla de una potencia y la regla de cadena.

La regla de cocienteEditar

Si   y   son funciones entonces:

 

siempre que  .

Esta puede ser obtenida a partir de la regla de producto y la regla recíproca.

Regla de la potencia generalizadaEditar

La regla elemental de la potencia generalizada cambia considerablemente. La regla de la potencia más general es la regla de la potencia a una función: para cualesquiera funciones   y  

 

como casos especiales se tiene

  • Si   entonces   cuando   es un número real cualquiera y   es positivo.
  • La regla recíproca puede ser obtenida como el caso especial cuando  .

Derivada de funciones exponenciales y logarítmicasEditar

 

la ecuación de arriba es válida para todo  , pero la derivada para   obtiene un número complejo.

 
 

la ecuación de arriba también es válida para todo   pero se obtiene un número complejo si  .

 
 
 
 
   

Derivadas logarítmicasEditar

La derivada logarítmica es otra manera de enunciar la regla para derivar el logaritmo de una función (utilizando la regla de cadena):

 

cuando   es positiva.

La diferenciación logarítmica es una técnica que utiliza logaritmos y sus reglas de diferenciación para simplificar ciertas expresiones antes de aplicar la derivada. Los logaritmos pueden ser utilizados para remover exponentes, convertir productos en sumas y convertir una división a una resta.

Derivadas de funciones trigonométricasEditar

   
   
   
   
   
   

Derivadas de funciones hiperbólicasEditar

   
   
   
   
   
   

Derivadas de funciones especialesEditar

Función gamma 
 
 
 

con   siendo la función digamma, expresada por la expresión en paréntesis a la derecha de  .

Función de Zeta del Riemann 
 
 

Derivadas de integralesEditar

Supone que se requiere derivar con respetar a   la función

 

donde las funciones   y   son ambas continuas en   y en   en alguna del plano  , incluyendo     y las funciones   y   son ambas continuas y ambas tienen derivadas continuos para   entonces para: :

 

esta fórmula es la forma general de la regla de diferenciación de Leibniz y puede ser obtenida utilizando el teorema fundamental de cálculo.

Derivadas de -ésimo ordenEditar

Algunas reglas existen para calcular la  -ésima derivada de una función, donde   es un entero positivo. Estas incluyen:

Fórmula de Faà di BrunoEditar

Si   y   son   veces diferenciables entonces

 

donde   y el conjunto   consta de todos los enteros no negativos que son soluciones de la ecuación de Diophantine  .

Regla general de LeibnizEditar

Si   y   son   veces diferenciables entonces

 

Véase tambiénEditar