Relación finita

Una relación finita R de n conjuntos (también denominada relación n-aria) es una generalización de la noción de relación matemática binaria para más de dos elementos. Se define como un subconjunto del producto cartesiano^[1]^[2] de los conjuntos $A_{1},\ldots ,A_{n}$ , llamados el esquema de la relación:

R\subseteq A_{1}\times \cdots \times A_{n}

La relación indica si los elementos de los conjuntos están relacionados entre sí, es decir, si cada posible tupla que toma valores del esquema pertenece o no pertenece a la relación.

Una relación se representa como:

R=\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\;\in \;A_{1}\times \cdots \times A_{n}\;\mid \;R(a_{1},\ldots ,a_{n})\}

Por ejemplo, podemos representar la siguiente relación R "x cree que a y le gusta z", en el conjunto de personas P = {Alicia, Benito, Carlos, Diana}, donde el esquema es el producto cartesiano P₁ × P₂ × P₃:

R = {(Alicia, Benito, Diana), (Carlos, Alicia, Benito), (Carlos, Carlos, Alicia), (Diana, Diana, Diana)}.

R se puede representar también con esta tabla:

Relación R "x cree que a y le gusta z"
P	P	P
Alicia	Benito	Diana
Carlos	Alicia	Benito
Carlos	Carlos	Alicia
Diana	Diana	Diana

El orden de las tabla no es relevante pero las columnas sí, ya que las filas de las relaciones son tuplas ordenadas.

Una relación se describe como: La relación n-aria^[3] es el conjunto tuplas ordenadas $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ pertenecientes al producto cartesiano $A_{1}\times \cdots \times A_{n}$ donde $a_{i}\in A_{i}$ , para cada $i\in \{1,\ldots ,n\}$ , cuya condición $R(a_{1},\ldots ,a_{n})$ se satisface.

Un caso particular se presenta cuando todos los conjuntos de la relación son iguales: $A_{1}=\cdots =A_{n}$ , es decir $A\times \ldots \times A$ y se describe como $A^{n}\,$ :

R\subseteq A^{n}

Clasificación

Las relaciones se clasifican con base en el número de conjuntos del producto cartesiano, el cual es el número de tuplas:

Relación unaria (Un conjunto):

R\subseteq A,\;R(a)

Relación binaria (Dos conjuntos):

R\subseteq A_{1}\times A_{2},\;R(a_{1},a_{2})

Relación ternaria (Tres conjuntos):

R\subseteq A_{1}\times A_{2}\times A_{3},\;R(a_{1},a_{2},a_{3})

Relación cuaternaria (Cuatro conjuntos):

R\subseteq A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\times A_{4},\;R(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})

Relación n-aria (Con $n$ conjuntos):

R\subseteq A_{1}\times ...\times A_{n},\;R(a_{1},\ldots ,a_{n})

Definiciones

Cuando dos objetos, cualidades, clases o atributos, observados de forma conjunta por la mente, se ven bajo alguna conexión, esa conexión se llama relación.

Augustus De Morgan^[4]

La primera definición del concepto de relación dada en matemáticas es:

Definición 1: Una relación n-aria R sobre el conjunto $X 1, \dots, X n$ es un subconjunto del producto cartesiano $X 1 \times \dots \times X n$ .^[5]

La segunda definición de la idea de relación hace uso de un modismo que es común en matemáticas, estipulando que "tal o cual elemento es una n-tupla" para asegurar que tal o cual objeto matemático esté determinado por la especificación de una relación matemática entre n elementos. En el caso de una relación R sobre n elementos, hay $n + 1$ cosas que especificar, a saber, los n elementos, más un subconjunto de su producto cartesiano. En lenguaje matemático, esto se expresa diciendo que R es una ( $n + 1$ )tupla.

Definición 2: Una relación n-aria R sobre el conjunto X₁, ⋯, Xn es una (n + 1)-tupla $($ X₁, ⋯, Xn, G) donde G es un subconjunto del producto cartesiano X₁ × ⋯ × Xn llamado grafo de R.

Como regla general, se elegirá para ese propósito la definición que mejor se ajuste a la aplicación en cuestión, y si alguna vez fuera necesario distinguir entre las dos definiciones, entonces una entidad que satisfaga la segunda definición puede denominarse una relación embebida o incluida.

Ambas declaraciones $(x 1, \dots, x n) \in R$ (bajo la primera definición) y $(x 1, \dots, x n) \in G$ (bajo la segunda definición) implican que "x₁, ⋯, x_n están relacionados por R y se denotan usando la notación de prefijos $Rx 1 \dots x n$ y usando la notación de sufijos $x 1 \dots x n R$ . En el caso en que R sea una relación binaria, esas declaraciones también se denotan usando la notación de infijo, con la forma $x 1 Rx 2$ .

Las siguientes consideraciones se aplican bajo cualquiera de las definiciones:

El conjunto X_i se denomina $i$ ésimo dominio de R.^[5] Según la primera definición, la relación no determina de forma única una secuencia dada de dominios. En el caso en que R sea una relación binaria, X₁ también se llama simplemente dominio o conjunto de partida de R, y X₂ también es llamado codominio o conjunto de destino de R.
Cuando los elementos de X_i son relaciones, X_i se denomina dominio no simple de R.^[5]
El conjunto de $\forall x i \in X i$ para el que existe $(x 1, \dots, x i - 1, x i + 1, \dots, x n) \in X 1 \times \dots \times X i - 1 \times X i + 1 \times \dots \times X n$ tal que $Rx 1 \dots x i - 1 x i x i + 1 \dots x n$ se denomina iésimo dominio de definición o dominio activo de R.^[5] En el caso en que R es una relación binaria, su primer dominio de definición también se denomina simplemente dominio de definición o dominio activo de R, y su segundo dominio de definición también se denomina codominio de definición o codominio activo de R.
Cuando el dominio $i$ de definición de R es igual a X_i, se dice que R es total en X_i. En el caso donde R es una relación binaria, cuando R es total en X₁, también se dice que es total por la izquierda o serial, y cuando R' ' es total en X₂, también se dice que es total por la derecha o sobreyectivo.
Cuando $\forall x \forall y \in X i .$ $\forall z \in X j .$ $xR ij z \land yR ij z \Rightarrow x = y$ , donde $i \in I$ , $j \in J$ , $R ij = π ij R$ y ${I, J}$ es una partición de ${1, ..., n}$ , se dice que R es único en ${X i} i \in I$ y ${X i} i \in J$ se denomina una clave primaria^[5] de R. En el caso en que R sea una relación binaria, cuando R es única en {X₁}, también se dice que es única por la izquierda o inyectiva; y cuando R es única en {X₂}, también se dice que es única por la derecha o funcional.
Cuando todos los X_i son el mismo conjunto X, es más sencillo referirse a R como una relación n-aria sobre X, llamada relación homogénea. De lo contrario, R se denomina relación heterogénea.
Cuando cualquier X_i está vacío, el producto cartesiano que lo define está vacío y la única relación sobre dicha secuencia de dominios es la relación vacía $R = \emptyset$ . Por lo tanto, comúnmente se estipula que todos los dominios no estén vacíos.

Sea el dominio booleano B un conjunto de dos elementos, como por ejemplo $B = {0, 1$ }, cuyos elementos pueden interpretarse como valores lógicos, típicamente $0= falso$ y $1= vweddero$ . La función característica de R, denotada por χ_R, es la función valor booleano $χ R : X 1 \times \dots \times X n \to B$ , definida por $χ R ((x 1, \dots, x n))= 1$ si $Rx 1 \dots x n$ y $χ R ((x 1, \dots, x n))= 0$ en caso contrario.

En matemáticas aplicadas, ciencias de la computación y estadística, es común referirse a una función con valores booleanos como predicado n-ario. Desde el punto de vista más abstracto de la lógica y de la teoría de modelos, la relación R constituye un modelo lógico o una estructura relacional, que sirve como uno de los muchas interpretaciones posibles de algunos símbolos de predicado n-arios.

Debido a que las relaciones surgen en muchas disciplinas científicas, así como en muchas ramas de las matemáticas y de la lógica, existe una variación considerable en la terminología. Aparte de la extensión semántica propia de la teoría de conjuntos de un concepto o término relacional, el término relación también se puede utilizar para referirse a la entidad lógica correspondiente, ya sea la comprensión lógica, que es la totalidad de las propiedades abstractas compartidas por todos los elementos de la relación, o bien los símbolos que denotan estos elementos. Además, algunos escritores de esta última tendencia introducen términos con connotaciones más concretas (como estructura relacional para la extensión a la teoría de conjuntos de un concepto relacional dado).

Historia

El lógico Augustus De Morgan, en un trabajo publicado alrededor de 1860, fue el primero en articular la noción de relación en un sentido parecido al actual. También publicó los primeros resultados formales en la Décima teoría de las relaciones (sobre De Morgan y las relaciones, véase Merrill, 1990).

Charles Peirce, Gottlob Frege, Georg Cantor, Richard Dedekind y otros avanzaron la teoría de las relaciones. Muchas de sus ideas, especialmente sobre las relaciones denominadas órdenes, se resumieron en la obra The Principles of Mathematics (1903), donde Bertrand Russell hizo un uso libre de estos resultados.

En 1970, Edgar Codd propuso un modelo relacional para las bases de datos, anticipando así el desarrollo de este campo de la informática.^[5]

Véase también

Referencias

↑ Parada Fernández, Jesús (2019). «2». Matemáticas de relaciones. Punto Rojo Libros, S.L. p. 48. ISBN 978-84-17848-55-2.
↑ Anthony Orton (2003). «III». Didáctica de las matemáticas (Guillermo Solana, trad.). Ediciones Morata. p. 47. ISBN 978-847-112-345-9.
↑ Sancho San Román, Juan (1990). «5.1». Lógica matemática y computabilidad. Ediciones Díaz de Santos, S.A. p. 5. ISBN 978-848-718-953-1.
↑ De Morgan, A. (1858) "On the syllogism, part 3" in Heath, P., ed. (1966) On the syllogism and other logical writings. Routledge. P. 119,
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Codd, Edgar Frank (June 1970). «A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks». Communications of the ACM 13 (6): 377-387. S2CID 207549016. doi:10.1145/362384.362685. Consultado el 29 de abril de 2020.

Bibliografía

Bourbaki, N. (1994) Elements of the History of Mathematics, John Meldrum, trans. Springer-Verlag.
Halmos, P.R. (1960) Naive Set Theory. Princeton NJ: D. Van Nostrand Company.
Lawvere, F.W., and R. Rosebrugh (2003) Sets for Mathematics, Cambridge Univ. Press.
Suppes, Patrick (1960/1972) Axiomatic Set Theory. Dover Publications.
Tarski, A. (1956/logico no1983) Logic, Semantics, Metamathematics, Papers from 1923 to 1938, J.H. Woodger, trans. 1st edition, Oxford University Press. 2nd edition, J. Corcoran, ed. Indianapolis IN: Hackett Publishing.
Ulam, S.M. (1990) Analogies Between Analogies: The Mathematical Reports of S.M. Ulam and His Los Alamos Collaborators in A.R. Bednarek and Françoise Ulam, eds., University of California Press.

Datos: Q203066
Multimedia: Relations (mathematics) / Q203066

[1] Parada Fernández, Jesús (2019). «2». Matemáticas de relaciones. Punto Rojo Libros, S.L. p. 48. ISBN 978-84-17848-55-2.

[2] Anthony Orton (2003). «III». Didáctica de las matemáticas (Guillermo Solana, trad.). Ediciones Morata. p. 47. ISBN 978-847-112-345-9.

[3] Sancho San Román, Juan (1990). «5.1». Lógica matemática y computabilidad. Ediciones Díaz de Santos, S.A. p. 5. ISBN 978-848-718-953-1.

[4] De Morgan, A. (1858) "On the syllogism, part 3" in Heath, P., ed. (1966) On the syllogism and other logical writings. Routledge. P. 119,

[Codd1970-5] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Codd, Edgar Frank (June 1970). «A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks». Communications of the ACM 13 (6): 377-387. S2CID 207549016. doi:10.1145/362384.362685. Consultado el 29 de abril de 2020.

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