Relación transitiva

Una relación binaria sobre un conjunto es transitiva[1][2]​ cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y este último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.

Ejemplo: Si a es mayor que b, y b es mayor que c, entonces, a es mayor que c.

Esto es:

Dado el conjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si: a R b y b R c se cumple a R c.

La propiedad anterior se conoce como transitividad.

EjemplosEditar

Así por ejemplo dado el conjunto N de los números naturales y la relación de orden "menor o igual que" vemos que es transitiva:

 

Así, puesto que:

 

En general las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor o igual) son transitivas.

Tomando de nuevo el conjunto de los números naturales, y la relación divide a:

 

Para cualquiera de los números naturales a, b y c: si a divide a b y b divide a c entonces a divide a c

Dado que 3|12 (3 divide a 12) y 12|48 (12 divide a 48), la transitividad establece que 3|48 (3 divide a 48).

Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relación "no es subconjunto" no es transitiva. Por ejemplo, si X = {1,2,3}, Y={2,3,4,5}, Z={1,2,3,4}. Entonces

Se cumple   y   pero no se cumple   puesto que   es subconjunto de  .

Otro ejemplo de relación binaria que no es transitiva es "ser la mitad de": 5 es la mitad de 10 y 10 es la mitad de 20, pero 5 no es la mitad de 20.

RepresentaciónEditar

Una relación binaria se puede representar como pares ordenados, mediante una matriz de adyacencia o mediante un grafo. Para el caso de una relación transitiva, cada una de estas representaciones tiene características especiales:

  • Como pares ordenados,  
  • Como matriz de adyacencia  , la matriz es tal que  
  • Como grafo, cada vez que desde un nodo   se pueda llegar a otro  , pasando primero por un nodo intermedio  , entonces también existirá la arista  .

Véase tambiénEditar

Propiedades de la relación binaria homogénea:

Conceptos relacionados:

ReferenciasEditar

  1. Caicedo Barrero, Alfredo; Wagner de Gardia, Graciela; Me¡éndez Parra, Rosa María (2010). «2.4». Introducción a la Teoría de Grafos (1 edición). Ediciones Elizcom. p. 21. ISBN 978-958-993-257-5. 
  2. Richard Johnsonbaugh (2005). «3». Matemáticas discretas (6 edición). Pearson Educación. p. 118. ISBN 978-970-260-637-6.