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Relación antisimétrica

Una relación binaria sobre un conjunto es antisimétrica[1][2][3]​ cuando se da que si dos elementos de se relacionan entre sí mediante , entonces estos elementos son iguales.

Es decir,

Para todo a, b de A, si se cumple que a está relacionado con b y b está relacionado con a, entonces a es igual a b.

En tal caso, se dice que cumple con la propiedad de antisimetría.

La aplicación de cualquier relación sobre un conjunto , se representa con el par ordenado .

RepresentaciónEditar

Sea   una relación antisimétrica aplicada sobre un conjunto  , entonces   tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.

  • Como pares ordenados,  .
  • Como matriz de adyacencia  , la matriz   no tiene ningún 2 salvo, a lo sumo, en la diagonal.
  • Como grafo, dos nodos no podrán estar conectados por dos aristas dirigidas en ambas direcciones. Sin embargo, sí podría tener bucles.

EjemplosEditar

Sea   un conjunto cualquiera:

  • Sea  ,   ("mayor o igual que") es antisimétrica, al igual que   ("mayor estricto que"), pues en este último caso, el antecedente de la definición nunca se cumple.
  • Sea  ,   ("menor o igual que") es antisimétrica, al igual que   ("menor estricto que"), pues en este último caso, el antecedente de la definición nunca se cumple.
  • La relación "ser más alto que" es antisimétrica, pues el hecho que a sea más alto que b y b sea al mismo tiempo más alto que a, es imposible.

Antisimetría asimetríaEditar

La antisimetría no es lo opuesto de la simetría.

Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo tiempo (como la igualdad), otras que no son simétricas ni antisimétricas (como la divisibilidad para los enteros), otras que son simétricas pero no antisimétricas (como la relación de congruencia módulo n), y otras que son antisimétricas pero no simétricas (como la relación "menor que").

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Villalpando Becerra, José Francisco; García Sandoval, Andrés (2014). «3.5». Matemáticas Discretas (1 edición). Grupo Editorial Patria. p. 66. ISBN 978-607-438-925-8. 
  2. Richard Johnsonbaugh (2005). «3». Matemáticas discretas (6 edición). Pearson Educación. p. 119. ISBN 978-970-260-637-6. 
  3. L. E. Sigler (1981). «1». Álgebra (Luis Bou Garía, trad.). Editorial Reverte. p. 12. ISBN 978-842-915-129-9.