Relación antisimétrica

Una relación binaria sobre un conjunto es antisimétrica[1][2][3]​ cuando se da que si dos elementos de se relacionan entre sí mediante , entonces estos elementos son iguales.

Es decir,

Para todo a, b de A, si se cumple que a está relacionado con b y b está relacionado con a, entonces a es igual a b.

En tal caso, se dice que cumple con la propiedad de antisimetría.

La aplicación de cualquier relación sobre un conjunto , se representa con el par ordenado .

RepresentaciónEditar

Sea   una relación antisimétrica aplicada sobre un conjunto  , entonces   tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.

  • Como pares ordenados,  .
  • Como matriz de adyacencia  , la matriz   no tiene ningún 2 salvo, a lo sumo, en la diagonal.
  • Como grafo, dos nodos no podrán estar conectados por dos aristas dirigidas en ambas direcciones. Sin embargo, sí podría tener bucles.

EjemplosEditar

Sea   un conjunto cualquiera:

  • Sea  ,   ("mayor o igual que") es antisimétrica, al igual que   ("mayor estricto que"), pues en este último caso, el antecedente de la definición nunca se cumple.
  • Sea  ,   ("menor o igual que") es antisimétrica, al igual que   ("menor estricto que"), pues en este último caso, el antecedente de la definición nunca se cumple.
  • La relación "ser más alto que" es antisimétrica, pues el hecho que a sea más alto que b y b sea al mismo tiempo más alto que a, es imposible.

Antisimetría asimetríaEditar

La antisimetría no es lo opuesto de la simetría.

Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo tiempo (como la igualdad), otras que no son simétricas ni antisimétricas, otras que son simétricas pero no antisimétricas (como la relación de congruencia módulo n), y otras que son antisimétricas pero no simétricas (como la relación "menor que").

Véase tambiénEditar

Propiedades de la relación binaria homogénea:

ReferenciasEditar

  1. Villalpando Becerra, José Francisco; García Sandoval, Andrés (2014). «3.5». Matemáticas Discretas (1 edición). Grupo Editorial Patria. p. 66. ISBN 978-607-438-925-8. 
  2. Richard Johnsonbaugh (2005). «3». Matemáticas discretas (6 edición). Pearson Educación. p. 119. ISBN 978-970-260-637-6. 
  3. L. E. Sigler (1981). «1». Álgebra (Luis Bou Garía, trad.). Editorial Reverte. p. 12. ISBN 978-842-915-129-9.