Relación antisimétrica

Una relación binaria $R$ sobre un conjunto $A$ es antisimétrica^[1]^[2]^[3] cuando se da que si dos elementos de $A$ se relacionan entre sí mediante $R$ , entonces estos elementos son iguales.

Es decir,

\forall a,b\in A\;:\quad aRb\quad \land \quad bRa\quad \Rightarrow \quad a=b

Para todo a, b de A, si se cumple que a está relacionado con b y b está relacionado con a, entonces a es igual a b.

En tal caso, se dice que $R$ cumple con la propiedad de antisimetría.

La aplicación de cualquier relación $R$ sobre un conjunto $A$ , se representa con el par ordenado $(A,R)$ .

Representación editar

Sea $R$ una relación antisimétrica aplicada sobre un conjunto $A$ , entonces $R$ tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.

Como pares ordenados, $\forall a,b\in A,\ (a,b)\in R\land (b,a)\in R\;\Rightarrow \;a=b$ .
Como matriz de adyacencia $M$ , la matriz $M+M^{t}\,$ no tiene ningún 1 salvo, a lo sumo, en la diagonal principal.
Como grafo, dos nodos no podrán estar conectados por dos aristas dirigidas en ambas direcciones. Sin embargo, sí podría tener bucles.

Ejemplos editar

Sea $A$ un conjunto cualquiera:

Sea $(A,\geq )$ , $\geq$ ("mayor o igual que") es antisimétrica, al igual que $>\,$ ("mayor estricto que"), pues en este último caso, el antecedente de la definición nunca se cumple.

Sea $(A,\leq )$ , $\leq$ ("menor o igual que") es antisimétrica, al igual que $<\,$ ("menor estricto que"), pues en este último caso, el antecedente de la definición nunca se cumple.

La relación "ser más alto que" es antisimétrica, pues el hecho que a sea más alto que b y b sea al mismo tiempo más alto que a, es imposible.

Antisimetría $\neq$ asimetría editar

La antisimetría no es lo opuesto de la simetría.

Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo tiempo (como la igualdad), otras que no son simétricas ni antisimétricas, otras que son simétricas pero no antisimétricas (como la relación de congruencia módulo n), y otras que son antisimétricas pero no simétricas (como la relación "menor que").

Véase también editar

Propiedades de la relación binaria homogénea:

Relación simétrica
Relación antisimétrica

Relación total

Referencias editar

↑ Villalpando Becerra, José Francisco; García Sandoval, Andrés (2014). «3.5». Matemáticas Discretas (1 edición). Grupo Editorial Patria. p. 66. ISBN 978-607-438-925-8.
↑ Richard Johnsonbaugh (2005). «3». Matemáticas discretas (6 edición). Pearson Educación. p. 119. ISBN 978-970-260-637-6.
↑ L. E. Sigler (1981). «1». Álgebra (Luis Bou Garía, trad.). Editorial Reverte. p. 12. ISBN 978-842-915-129-9.

Datos: Q583760

[1] Villalpando Becerra, José Francisco; García Sandoval, Andrés (2014). «3.5». Matemáticas Discretas (1 edición). Grupo Editorial Patria. p. 66. ISBN 978-607-438-925-8.

[2] Richard Johnsonbaugh (2005). «3». Matemáticas discretas (6 edición). Pearson Educación. p. 119. ISBN 978-970-260-637-6.

[3] L. E. Sigler (1981). «1». Álgebra (Luis Bou Garía, trad.). Editorial Reverte. p. 12. ISBN 978-842-915-129-9.

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