Teorema de Wantzel

El teorema de Wantzel, establecido por Pierre Wantzel en 1837,​ especifica las condiciones necesarias y suficientes para que un número sea construible. Hoy se expresa de la siguiente manera:​

Construcción del heptadecágono (17 lados) con regla y compás

El número real a es construible si y solo si existe una secuencia finita de cuerpos Li tal que: L0 = ℚ Li+1 es una extensión cuadrática de Li para 0 ≤ i < n El número real a pertenece a Ln

Wantzel deduce de su teorema una condición necesaria para que un número a sea construible:

Si el número real a es construible, entonces el grado de su polinomio mínimo en ℚ es una potencia de 2

Esta condición necesaria permite (por su contraposición) demostrar que la duplicación del cubo y la trisección del ángulo no son resolubles con regla y compás.

Sin embargo, esta condición necesaria no es suficiente. Por ejemplo, un polinomio de grado 4 como (X⁴ + 2X - 2) es de hecho irreducible (en ℚ [X]), pero sus raíces no son construibles.

Conceptos clave

Número construible

La definición de un número construible (implícita en las operaciones con regla y compás) se basa en la de punto construible: es un valor real que representa la coordenada en una base ortonormal de un punto construible a partir de dos puntos de la referencia (entonces, el tercero es o no construible). Los puntos construibles se pueden obtener a partir de un número determinado de puntos, obtenidos ellos mismos a partir de los puntos de la base mediante una serie finita de intersecciones de líneas rectas y de circunferencias propias (de radio finito), obtenidos a su vez a partir de puntos previamente construidos.

Se demuestra que los puntos cuyas coordenadas son números construibles, son construibles, y que todos los números racionales son construibles. El cuerpo ℚ de los números racionales es, por tanto, un campo de números construibles.

Demostración

El planteamiento es entonces el siguiente: si K es un cuerpo de números construibles (por ejemplo ℚ), se considera, en el plano, el conjunto E_K de todos los puntos cuyas coordenadas pertenecen a K. ¿Cuáles son los puntos que se pueden construir con una regla y un compás en un paso desde los puntos de E_K?

• El punto de intersección de dos líneas rectas
• El punto de intersección de una circunferencia y una línea recta
• El punto de intersección de dos circunferencias

en las condiciones que se especifican a continuación.

Intersección de dos líneas rectas

Dos líneas rectas (AB) y (CD) cuyos puntos A, B, C, D están en E_K tienen como ecuación

ax + by + c = 0 y ux + vy + t = 0; donde a, b, c, u, v, t son elementos de K

Encontrar las coordenadas (x, y) del punto de intersección I de estas dos líneas rectas equivale a resolver un sistema de ecuaciones lineales en K. Los reales x e y son elementos de K. El punto I pertenece a E_K.

Intersección de una línea recta y una circunferencia

La línea (AB) tiene la ecuación ax + by + c = 0 y la circunferencia con centro C y que pasa por D tiene la ecuación x² + ux + y² + vy + t = 0.

Encontrar las coordenadas de los puntos de intersección de la circunferencia y la línea recta equivale, por sustitución, a resolver una ecuación cuadrática en K:P(x) = 0 o P(y) = 0. Si el punto de intersección existe, o esta ecuación tiene soluciones en K, o esta ecuación es irreducible en K pero tiene soluciones en la extensión cuadrática L = K(X) / P. Entonces, todos los números reales de L también son construibles, porque existe a + bx, donde a y b están en K y x es solución de P(x) = 0.

Intersección de dos circunferencias

Encontrar la intersección de dos circunferencias es como encontrar la intersección de una circunferencia con una línea recta, porque el sistema

x² + ax + y² + by + c = 0; y x² + ux + y² + vy + t = 0

es equivalente a este otro sistema:

x² + ax + y² + by + c = 0; y (a – u)x + (b – v)y + c – t = 0

Las coordenadas de los puntos de intersección pertenecen a K, o bien a una extensión cuadrática de K formada por números construibles.

Conclusión

Un número a es construible si y solo si se puede construir en un número finito n de pasos por intersecciones de dos circunferencias, de dos líneas rectas o de una circunferencia y una línea recta, bajo las condiciones anteriores y partiendo de dos puntos de referencia cuyas coordenadas son, por tanto, racionales.

En los párrafos anteriores, se muestra que, para un paso, o las coordenadas permanecen en el campo K de números de origen construibles, o bien saltan a una extensión cuadrática del mismo.

Por lo tanto, es posible construir una secuencia finita de subcampos de números reales K₀, ..., K_n tal que:

• K₀ = ℚ
• Para 0 ≤ i < n, K_i+1 = K_i, o K_i ⊂ K_i+1 y K_i+1 es una extensión cuadrática de K_i
• a ∈ K_n

es decir, existe una serie de extensiones cuadráticas que verifican las condiciones requeridas (las redundancias K_i+1 = K_i por supuesto pueden eliminarse).

Por el contrario, si existe una secuencia de subcuerpos reales L₀, ..., L_n que satisfacen las condiciones del teorema, entonces se demuestra por inducción sobre i que L_i, 0 ≤ i ≤ n, es un cuerpo de números construibles. De hecho, los números racionales son construibles (L₀ = ℚ), y cualquier elemento b de L_{i + 1}, extensión del grado 2 de L_i, es una solución de una ecuación de grado 2 con coeficientes en L_i, ya que (1, b, b²), y se expresa a partir de los coeficientes por suma, multiplicación, división y raíz cuadrada de un número positivo. Sin embargo, el conjunto de números construibles es estable mediante estas operaciones (véase número construible y torre de extensiones cuadráticas).

Por tanto, se obtiene la caracterización enunciada en la introducción.

Consecuencias

El teorema de Wantzel a menudo se aplica a través del siguiente corolario (también establecido por Wantzel):

Si a es un número construible, el grado de su polinomio mínimo es una potencia de 2.

De hecho, dado que a pertenece al último eslabón de una serie de extensiones cuadráticas de longitud finita n de origen ℚ, pertenece a una extensión L de grado 2ⁿ de ℚ (propiedad de grados de una extensión). El campo L es una extensión de cuerpo ℚ(a) y, aún por la misma propiedad de los grados de extensión, el grado de la extensión ℚ(a) de ℚ es un divisor​ de 2ⁿ, por lo que - incluso una potencia de 2.

Este corolario permite resolver varios problemas clásicos de la matemática griega, comprobando su imposibilidad.

Duplicación del cubo

La duplicación del cubo no se puede resolver con una regla sin marcar y un compás.

Duplicar el cubo con una regla y un compás equivale a demostrar que el número ${\sqrt[{3}]{2}}$, la relación entre los lados de dos cubos tales que el primero tiene un volumen doble que el segundo, es construible. Sin embargo, el polinomio mínimo del número ${\sqrt[{3}]{2}}$ es (X³ - 2). De hecho, este polinomio, cuyas raíces no son racionales, no se puede descomponer en ℚ(X) (uno de los factores sería de grado 1). Es de grado 3, y por lo tanto, según el corolario de Wantzel, este número no es construible. Se concluye entonces que la duplicación del cubo con regla y compás no es factible.

Cuadratura del círculo

La cuadratura del círculo no se puede producir con una regla y un compás.

De hecho, cuadrar el círculo con una regla y un compás, es decir, determinar con una regla y un compás un cuadrado de área πr², el área de un círculo de radio r, significaría que el número √π, y por lo tanto, el número π, es en sí mismo construible. Sin embargo, Carl Louis Ferdinand von Lindemann demostró en 1882 que π es un número trascendente. Basta entonces notar que un número construible con regla y compás es algebraico, lo que es inmediato mediante el teorema de Wantzel. El argumento esencial lo da el teorema de Lindemann, demostrado casi 50 años después del de Wantzel.

Trisección del ángulo

La trisección del ángulo en general no se puede lograr con regla y compás.

Efectivamente, realizar la trisección del ángulo equivale a construir, desde el punto de coordenadas

$a=\cos(\theta ){\text{ y }}b=\sin(\theta ),$

el punto de coordenadas

$(\cos(q),\sin(q)){\text{ con }}q=\theta /3.$

Usando la fórmula trigonométrica

$\cos(3q)=4\cos ^{3}(q)-3\cos(q)$,

se ve que cos(q) debe ser la solución de la ecuación:

$4x^{3}-3x=a.$

Por tanto, la trisección del ángulo es factible si y solo si el polinomio 4X³ – 3X – a es reducible en $\mathbb {Q} (a)$, es decir, si admite una raíz que es una función racional de $a$, lo que nunca es el caso si $a$ es transcendente (en particular si θ es un número algebraico distinto de cero), y ni siquiera es siempre el caso si $a$ es algebraico: por ejemplo,​ para θ = π/3, $\mathbb {Q} (a)=\mathbb {Q} (1/2)=\mathbb {Q}$ y 4X³ – 3X – 1/2 no tiene raíz racional, por lo que es irreducible en ℚ.

En algunos casos especiales, como θ = 2π (construcción de un triángulo equilátero) o θ = π (construcción de un hexágono regular), la trisección es posible. La imposibilidad de trisecar π/3, por lo tanto 2π/3, muestra que el eneágono regular (el polígono de 9 lados) no se puede construir con regla y compás, que es un caso especial de un resultado más general de De Wantzel (véase teorema de Gauss-Wantzel y la siguiente sección).

Teorema de Gauss-Wantzel

En la misma publicación, Pierre-Laurent Wantzel utilizó su teorema para completar el trabajo de Gauss sobre polígonos regulares construibles, en el último capítulo de sus Disquisitiones arithmeticae, lo que conduce a lo que ahora se llama el teorema de Gauss-Wantzel. Gauss había demostrado que los polígonos regulares cuyo número de lados es un producto de distintos números primos de Fermat y una potencia de 2 son construibles con regla y compás, pero se contentó con formular la proposición complementaria sin demostrarla.​ Es este enunciado recíproco el que demuestra Wantzel:

El número de lados de un polígono regular construible con regla y compás, es el producto de números primos de Fermat distintos por una potencia de 2

Por ejemplo, los polígonos regulares con 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19 o 21 lados no son construibles.

Construir un polígono regular con n lados equivale a dividir un círculo en n partes iguales y, por lo tanto, a construir un ángulo de medida 2π/n. Siempre se puede trabajar sobre el círculo de radio unidad, y por lo tanto, esto es equivalente a que el número cos(2π/n) sea construible, siendo entonces construible la segunda coordenada del punto en el círculo unitario porque sin(2π/n) = √1 – cos²(2π/n).

Siendo posible trazar la bisectriz de un ángulo con regla y compás, basta con demostrar el resultado para un número impar de lados. Volviendo a las potencias de un número primo impar, si dos números n y m son primos entre sí, y si los ángulos de medida 2π/n y 2π/m son construibles, entonces mediante la identidad de Bézout se pueden encontrar dos enteros u y v tales que 2π/nm = v 2π/n + u 2π/m. Por lo tanto, el ángulo de medida 2π/nm es construible (basta con sumar o restar un cierto número de veces cada uno de los ángulos construibles de medidas 2π/n y 2π/m, lo que se puede materializar con un compás sobre la circunferencia que se va a dividir). Por lo tanto, al usar la factorización de enteros se vuelve a que​

Si el número de lados de un polígono regular construible con regla y compás es la potencia de un número primo impar, entonces esta potencia es 1 y este número primo es un número de Fermat

Sea p un número primo impar, k un número natural distinto de cero y q = p^k tal que el polígono regular con q lados sea construible. Según el teorema de Wantzel (corolario) la extensión ℚ(cos(2π/q)) tiene por grado una potencia de 2. El número complejo cos(2π/q)+ i sin (2π/q) es la raíz del polinomio X² - 2cos (2π/q) + 1, irreducible en ℚ(cos(2π/q)), por lo que la extensión ℚ(cos(2π/q) + i sin(2π/q)) es de grado 2 en ℚ(cos(2π/q)), y por lo tanto de grado una potencia de 2 sobre ℚ. Sin embargo, el complejo e^i2π/q = cos(2π/q) + i sin(2π/q) es una raíz primitiva q-ésima de la unidad. Por lo tanto, es una raíz del polinomio ciclotómico de índice q=p^k que es unitario e irreducible sobre ℚ, y en consecuencia, el polinomio estudiado es el polinomio mínimo de e^i2π/q. El grado de este polinomio es φ(q) = p^k–1 (p - 1). Dado que p es impar, este número solo puede ser una potencia de 2, o de 2^m, si k = 1 y p = 1 + 2^m. Luego se demuestra que este número no puede ser primo si p es un número de Fermat.​

Además del teorema de Wantzel, la demostración se basa esencialmente en la irreductibilidad en ciclo de polinomios ciclotómicos con índice q = p^k, con p primo, es decir

$\Phi _{p^{k}}(X)={X^{p^{k}}-1 \over X^{p^{k-1}}-1}=\sum _{j=0}^{p-1}X^{jp^{k-1}}$.

De hecho, está claro que e^i2π/q es la raíz de este polinomio de grado p^k–1(p - 1), y su irreductibilidad implica que es su polinomio mínimo.

Incluso se podría volver sobre los polinomios ciclotómicos con índices p^k, con p primo, para k = 1 o k = 2, ya que si un polígono con n lados es construible, un polígono cuyo número de lados es un divisor de n es inmediatamente construible.​

La irreductibilidad de los polinomios Φ_p^k (X), siendo k un entero natural distinto de cero, se puede demostrar mediante el criterio de Eisenstein, aplicado al polinomio Φ_p^k (X + 1) y al número primo p.​

Bibliografía

• Carrega, Jean-Claude (1989). Théorie des corps - La règle et le compas. ISBN 978-2-7056-1449-2. 
• Antoine Chambert-Loir (2005). Éditions de l’École Polytechnique, ed. Algèbre corporelle. «El teorema de Wantzel y varias de sus consecuencias se tratan en el primer capítulo, p. 14-18». 
• Escofier, Jean-Pierre (2000). Dunod, ed. Théorie de Galois (en francés). París. ISBN 978-0-38798765-1. 

Enlaces externos

• Portal:Matemáticas. Contenido relacionado con Matemáticas.

• Datos: Q3527176