Usuario:Juan Marquez/archives-uno

Geometric and topological group theory

• producto libre
• producto libre de grupos
• Producto libre amalgamado
• HNN-extensión
• Grafo de grupos
• Teoría de Bass-Serre
• punta (topología) como en w:en:End (topology)
• Teoría geométrica de grupos

todos estos temas serán desarrollados a partir de

• libro de Ross Geoghegan: Topological methods in group theory, GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1 y el
• panfleto de Peter Scott y Terry Wall titulado: Topological methods in group theory, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 36, Cambridge Univ. Press (1979) 137-203. En dirección [1], en el apartado de sources for the Bass Serre theory puedes descargarlo
• Word computations and free crossed resolutions en [2]

Producto libre

• w:en:Free product

En las matemáticas, particularmente en la teoría de grupos, el producto libre de grupos es la construción de un nuevo grupo a partir de una dada colección de ellos y que permite la inclusión como subgrupos a cada uno de los factores que le construyen.

Para ilustrar la construcción, más precisamente, utilicemos dos grupos G, H. Entonces su producto libre es el grupo $G*H$ que consiste en un nuevo grupo cuyos elementos tienen la forma canónica

$g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdots g_{r}h_{r}$

donde los $g_{i}\in G$ y los $h_{i}\in H$ es decir los elementos de G*H son palabras reducidas de letras alternadas que son elementos de los dos grupos G y H respectivamente.

Entonces uno puede pensar que el grupo G está incluido en G*H pues trivialmente vemos que cada elemento de G es una palabra reducida en G*H, y similarmente para H.

Ejemplos

Un ejemplo básico es el grupo libre $F_{2}$ de rango dos; éste, se puede interpretar como

$F_{2}=\mathbb {Z} *\mathbb {Z}$

Otro un poco más complejo es $PSL(\mathbb {Z} ,2)$ que se interpreta como

$PSL(\mathbb {Z} ,2)=\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{3}$

Producto libre amalgamado

• w:en:Free product

Una manera similar pero más general de construir grupos a partir de antiguos es el producto libre amalgamado, que consiste empezar con dos grupos arbitrarios A, B y un tercer C que se encuentra encajado es ambos A y B, entonces uno toma el cociente ${\frac {A\star B}{N(C)}}\,$ a partir del producto libre de A con B y haciendo módulo N(C) que es la clausura normal de C en ambos A, B.

En símbolos se tiene

$A\star _{C}B$

Ejemplos de esta construcción aparecen en el teorema de Seifert-van Kampen donde se calcula es grupo fundamental de un espacio topológico en términos de los grupos fundamentales de algunos de sus subespacios.

Más detalles, si $f:C\to A$ y $g:C\to B$ son los encajes, y si $A=\langle a_{i}\ |\ r_{j}=1\rangle$ y $B=\langle b_{k}\ |\ t_{l}=1\rangle$ son sus presentaciones, entonces

$A*_{C}B=\langle a_{i},b_{k}\ |\ r_{j}=t_{l}=f(c)g(c^{-1})=1,\rangle$

Más abstracto

Desde un punto de vista más abstracto el producto libre amalgamado es un ejemplo de la construcción denominada coproducto . El producto libre amalgamado aparece en el Teorema de Seifert-van Kampen de la topología algebraica cuando se calcula el grupo fundamental de dos subespacios de un espacio topológico cuya intersección es arco-conexa.

HNN extensión

• w:en:HNN extension

Una HNN-extensión es una contrucción de un nuevo grupo a partir de uno dado A y otro embedded C en A. Corresponde al producto libre amalgamado cuando B=A.

En símbolos corresponde a

$A*_{C}$

Ejemplos de esta construcción corresponden a la extensión de grupos dada por una sucesión exacta $1\to C\to A\star _{C}\to A\to 1$

La presentación de la extensión, vía el encaje $\alpha :C\to A$ está dada por:

$A*_{C}=\langle S,t\mid R,tht^{-1}=\alpha (h),\forall h\in C\rangle$

donde A es presentado $A=\langle S\mid R\rangle$

Ejemplos

Si elegimos $1\to 1$ el morfismo obvio dos veces entonces la presentación

$\langle t|t^{-1}1t=1\rangle$

determina una HNN-extensión de los enteros, es decir vemos que $\mathbb {Z}$ es $1*_{1}$, una HNN-extensión grupo trivial sobre sí mismo.

Grafo de grupos

• w:en:Graph of groups

En la teoría geométrica de grupos, un grafo de grupos es un objeto consistente en una colección de grupos indexados por un grafo, uno por cada vértice y por cada arista, además entre estos grupos hay morfismos inyectivos que cumplen ciertas condiciones.

Para cada grafo de grupos finito y conexo, hay un único grupo canónicamente asociado llamado su grupo fundamamental.

Un grafo de grupos admite una acción que conserva la orientación: el grafo de grupos puede ser recuperado desde le grafo cociente y los subgrupos estabilizadores.

Esta teoría es comúnmente referida como la teoría de Bass-Serre.

Teoría de Bass-Serre

• w:en:Bass-Serre theory

La Teoría de Bass-Serre es una parte de la tema matemático de la teoría de grupos que trata del análisis de la estructura algebraica de las acciones de grupos vía automorfismos de árboles simpliciales.

La teoría relaciona las acciones de los grupos sobre árboles con la descomposición de grupos como aplicaciones iteradas de las operaciones de producto libres con amalgamción y HNN-extensión, vía la noción de el grupo fundamental de un grafo de grupos. La teoría de Bass-Serre puede ser considerada como la versión 1-dimensional de la teoría de orbidades.

Historia

La teoría de Bass-Serre fué desarrollada por Jean-Pierre Serre en los 1970s y formalizada en Trees, la monografía fundamental de Serre (desarrollada en conjunto con Hyman Bass) en el tema.

La motivación original de Serre fué para entender la estructura de ciertos grupos algebraicos cyuas construcciones llamadas Bruhat-Tits buildings son árboles. Sin embargo, la teoría rápidamente se convirtió en una herramienta estándar de la teoría geométrica de grupos y de la topología geométrica, particularmente para el estudio de las [3-variedad]]es. Subsecuentes trabajos de Hyman Bass contribuyeron substanciosamente a la formalización y desarrollo de la herramienta básica de la teoría y actualmente el término Teoría de Bass-Serre es ámpliamente usado para describir el tema.

Matemáticamente, la teoría de Bass-Serre se construye sobre la explotación y generalización de las propiedades de dos viejas construcciones teórico grupales: producto libre amalgamado y HNN-extensión. Pero, no como el tradicional estudio algebraico de estas dos construcciones, la teoría de Bass-Serre usa el lenguage geométrico de los espacios cubrientes y el grupo fundamental. Los Grafos de grupos, que son los objetos básicos de la teoría pueden ser vistos como las versiones uno-dimensionales de la teoría de orbidades.

Aparte del libro de Serre (Trees), tratamientos elementales de esta teoría están disponibles los articulos de Bass (Covering theory for graphs of groups), el árticulo de Scott-Wall (Topological methods in group theory), y los libros de Hatcher, Baumslag, Dicks-Martin Dunwoody y Cohen.

Implementación básica

Grafos en el sentido de Serre

El formalismo de los grafos en esta teoría es ligeramente diferente con la teoría de grafos estándar. Aquí un grafo A consiste de un conjunto de vértices V, uno de aristas E, un mapeo que invierte $E\to E$, $e\mapsto {\bar {e}}$ tal que $e\neq {\bar {e}}$ y ${\bar {\bar {e}}}=e$ para toda $e\in E$, y mapeo de vértice inicial $o:E\to V$. Así en A para cada arista e este viene equipado con su inverso formal ${\bar {e}}$. El vértice $o(e)$ es llamado el origen o el vértice inicial de e y el vértice $o({\bar {e}})$ es llamado el terminus de e y es denotado por t(e).

Ambos, lazos (aristas para las cuales $o(e)=t(e)$) y vértices múltiples son permitidos.

Una orientación sobre A es una partición de E en la unión de dos subconjuntos disjuntos $E^{+}$ y $E^{-}$ tales que para cada vértice e exactamente una de las aristas del par $e,{\bar {e}}$ pertence a $E^{+}$ y la otra pertenece a $E^{-}$.

Grafo de grupos

Un grafo de grupos A consiste de la siguiente data:

• un grafo conexo A
• una asignación $v\mapsto A_{v}$ de un grupo a cada vértice de A
• otra asignación $e\mapsto A_{e}$ de un grupo a cada arista del grafo
• un morfismo de frontera $\alpha _{e}:A_{e}\to A_{o(e)}$ para cada arista de A que es inyectivo es decir un monomorfismo

Para cada $e\in E$ es mapeo $\alpha _{\bar {e}}:A_{e}\to A_{t(e)}$ es denotado por $\omega _{e}$

Grupo fundamental de un grafo de grupos

Hay dos definiciones equivalentes de la noción de grupo fundamental de un grafo de grupos:

• la primera es una definición directa mediante una presentación de grupo directamente (como una aplicación itereda de los productos libres amalgamados y las HNN-extensiones);
• y una segunda usando el lenguage de grupoides.

La primera es la más fácil de establecer:

Primero, elija un árbol generador (spanning tree) T de A y una orientación $E=E^{+}\sqcup E^{-}$ de A. Entonces el grupo fundamental de A con respecto a T, denotado por $\pi _{1}(\mathbf {A} ,T)$, es definido como el cociente del producto libre

$*_{v\in V}A_{v}*F(E)$

donde F(E) es el grupo libre con base libre E, sujeto a las siguientes relaciones:

• ${\bar {e}}\alpha _{e}(g)e=\omega _{e}(g)$, para cada e en E y cada $g\in A_{v}$ y es llamada la relación de Bass-Serre
• ${\bar {e}}e=1$ para cada $e\in E$
• e=1 para cada arista del árbol generador T

La descripción en términos de grupoides es...

Los grupos fundamentales de un grafo de grupos como un proceso iterativo

El grupo $G=\pi _{1}(\mathbf {A} ,T)$ definido arriba admite una descripción algebraica en términos de productos libres amalgamados y HNN-extensiones.

Primero se construye un grupo B como cociente del producto libre

$(*_{v\in V}A_{v})*F(E^{+}T)$

sujeto a las relaciones

• $e^{-1}a_{e}(g)e=\omega _{e}(g)$ para cada e en $E^{+}T$ y cada g en $A_{e}$
• $e=1$ para cada e en $E^{+}T$

Esta presentación puede, entonces, ser reescrita como

$B=*_{v\in V}A_{v}/{\rm {ncl}}\{\alpha _{e}(g)=\omega _{e}(g)\}$ donde e está en $E^{+}T$ y g en $G_{e}$

lo que muestra que B es un producto libre amalgamado iterado de los grupos-vértices $A_{v}$.

Entonces el grupo $G=\pi _{1}(\mathbf {A} ,T)$ tiene presentación

$\langle B,E^{+}(A-T)|e^{-1}\alpha _{e}(g)e=\omega (g)\rangle$ donde e pertence a $E^{+}(A-T)$ y g a $G_{e}$

lo que nos indica que G es una HNN-extensión múltiple de B con los símbolos estables $\{e|e\in E^{+}(A-T)\}$

Descomposiciones

Un isomorfismo entre un grupo G y el grupo fundamental de un grafo de grupos is llamado un descomposición (splitting) de G. Si las grupos-arista en la descomposición vienen de alguna clase de grupos (e.g. finito, cíclico, abeliano, etc), a la descomposición se le dice que descompone sobre dicha clase. Así una descomposición donde todos los grupo-arista son finitos se dice que descompone sobre grupos finitos.

Algebraicamente, una descomposición de G con grupos-arista triviales corresponderá a la descomposición por producto libre

$(*_{v\in V}A_{v})*F(X)$

deonde F(X) es un grupo libre con base libre $X=E^{+}(A-T)$ consistente en todos las aristas positivamente orientadas en el complemento del árbol-generador T en A.

Punta de un grupo o un espacio

• Ver ends en wiki-en para comparar.

Una construcción topológica que esta cobrando una importancia tremenda por su utilidad en la teoría topológica de los grupos es el concepto de punta o fín en una espacio topológico X dado. Uno debería pensar en este concepto como una manera de llegar al infinito dentro de X.

Para comprender el concepto comencemos con la noción de rayo (topología) en X tanto como la de rayos equivalentes:

• Un rayo topológico en X es un mapeo inyectivo $\mathbb {R} ^{+}\to X$.
• Diremos que dos rayos $\rho ,\tau$ son equivalentes si existe una homotopía entre las restricciones $\rho |_{\mathbb {N} },\ \tau |_{\mathbb {N} }$.

Las clases de equivalencia de tal relación recibe el nombre de conjunto de las puntas del espacio X , el cual vamos a simbolizar mediante ${\mathcal {E}}(X)$.

Es conveniente pensar en el concepto de punta de X como un componente de X en el infinito, entonces tener una punta es como pensar que el espacio es conexo en el infinito.

• • ref: Ross Geoghegan: Topological methods in group theory, GTM-243 (2008) página 295

otra caracterización

Definimos la relación $\subset _{a}$ entre elementos del conjunto potencia de un grupo

$E\subset _{a}F$ significa $E\cap F^{c}\,$ es un conjunto finito.

También

$E=_{a}F\,$ significa que $E\subset _{a}F$ and $F\subset _{a}E$

Tales relaciones son llamadas cuasi-inclusión y cuasi-igualdad respectivamente.

Un sunconjunto $E\in {\mathcal {P}}(G)$ es denominado cuasi-invariante si y solo si

para cada $g\in G$ sucede $Eg=_{a}E\,$

El conjunto ${\mathcal {P}}(G)$ junto con la diferencia simétrica $\Delta$ es un $\mathbb {Z} _{2}$-espacio vectorial y que tiene los subespacios

$INV(G)=\{E\in {\mathcal {P}}(G)|\ E$ es cuasi-invariante $\}\,$

$FIN(G)=\{E\in {\mathcal {P}}(G)|\ E$ es finito $\}\,$

entonces el número de puntas de G resulta ser igual a la dimensión del espacio cociente

$INV(G)/FIN(G)\,$

Ejemplos

Es fácil ver que $\mathbb {R}$ tiene dos puntas, pero un poquito menos que $\mathbb {R} ^{2}$ tiene solo una punta (al igual que todo $\mathbb {R} ^{n}$ para todo n mayor que dos).

Teorema de Stallings

Un espacio X tiene infinitas puntas ssi el grupo fundamental de su cubriente es un producto libre amalgamado o una HNN extensión

• • ref: Ross Geoghegan: Topological methods in group theory, GTM-243 (2008) página 303

Teorema de Grushko

En el álgebra abstracta, el teorema de Grushko

• establece una propiedad de corte universal para cada grupo libre finitamente generado que pueda tener un epimorfismo en un producto libre de grupos.

• que en opinión de William S. Massey es el teorema más importante de los grupos libres y los productos libres de grupos

• El enunciado es:

Sea $f:G\to A*B\,$ un epimorfismo, entonces existen H, K subgrupos de G tales que $G=H*K\,$ y $fH\subset A$ y $fK\subset B$

• 1. ref [3]

Teoría geométrica de grupos

Teoría geométrica de grupos