Variación acotada

función real con variación total finita

En análisis matemático, una función es de variación acotada (o también denominada de "fluctuación limitada") si su variación total ("fluctuación total") es finita, es decir, no oscila en un grado arbitrario. Estos términos están estrechamente relacionados con la continuidad y la integrabilidad de funciones.

Ejemplos de funciones de variación ilimitada
Ejemplos de funciones de variación acotada

El espacio de todas las funciones de variación acotada en el dominio se denota por .

El concepto se remonta a Camille Jordan.[1][2]

Funciones reales

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Definición

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La variación total de una función de variable real   definida en un intervalo cerrado es el supremo

 

donde este supremo se forma a partir de todas las posibles particiones   del intervalo  . El   aquí especificado depende de  .

En concreto, las funciones continuas de variación acotada son integrables de Riemann-Stieltjes. Por eso   puede equiparse con una seminorma:

 .

Aquí, el supremo se forma a partir de todas las funciones   continuamente diferenciables con soporte compacto y valores de la función en el intervalo  .

La seminorma concuerda con el supremo, que define la variación acotada.

Ejemplo

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Ejemplo de variación ilimitada

Un ejemplo simple de una función con variación ilimitada es   cerca de  . Es claramente comprensible que el valor del cociente   para   crecerá cada vez más rápido hacia ∞ a medida que se acerca a 0 y, por lo tanto, el seno de este valor realizará un número infinito de oscilaciones. Este hecho se muestra en la imagen de la derecha.

La función

 

Tampoco tiene una fluctuación limitada en el intervalo [0, 1], a diferencia de la función:

 .

Aquí, la variación del término seno, que aumenta bruscamente para  , se ve suficientemente amortiguada por la potencia al cuadrado adicional.

Extensiones

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Esta definición también se puede utilizar para funciones complejas o funciones con valores en un espacio métrico   (en este último caso, reemplácese   por  ).

Funciones BV en varias variables

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Las funciones de variación acotada, o funciones  , son funciones cuyas derivadas distributivas son valores vectoriales con medidas de Radon finitas. De manera más precisa:

Definición

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Sea   un subconjunto abierto de  . Una función   es de variación acotada o elemento de   si su derivada distribucional es una medida de Radon finita, con signo y con valor vectorial. Es decir, existe  , de modo que se cumple que

 

Conexión con curvas rectificables

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Una función continua   también puede entenderse como un camino en un espacio métrico  . Se cumple que   tiene una variación acotada si y solo si   es un camino rectificable, es decir, tiene una longitud finita.

Conexión con la teoría de la medida

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En teoría de la medida, las funciones con valores reales/complejos de variación acotada son exactamente las funciones de distribución de medidas de Borel con signo (o complejas) en  .

Referencias

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  1. Golubov, Variation of a function, Encyclopedia of Mathematics, Springer
  2. Golubov, Function of boundes variation, Encyclopedia of Mathematics, Springer

Bibliografía

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Enlaces externos

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