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Acción (matemática)

concepto matemático
(Redirigido desde «Acción de grupo»)

Una acción de un grupo sobre un conjunto es una aplicación [1]​ que cumple:

  1. donde es el elemento neutro del grupo.
  2. .[2]

Estas dos condiciones implican que, para cada elemento de , la aplicación es una función biyectiva.[3]​ Otra posible definición, que se deriva de esto, es que una acción es un homomorfismo de grupos.

.

Índice

Notación alternativaEditar

Otra notación utilizada para las acciones es  . Así los axiomas de acción se reescriben:

  •  
  •  

EjemplosEditar

Ejemplo: el ejemplo más sencillo es la representación trivial: para cualquier   y  ,  .

Ejemplo: el grupo de tres elementos   actúa sobre el plano complejo   de la siguiente manera:

  •  
  •  
  •  

donde   es una raíz cúbica de la unidad (si tomamos la raíz   la representación es trivial).

Un tipo importante de acción es aquella en la que   es un espacio vectorial. Este tipo de acciones son el punto de partida de la teoría de la representación.

Tipos de acciónEditar

  • Una acción de un grupo se llama transitiva, o se dice que el grupo actúa transitivamente sobre un conjunto  , si dados dos elementos   e   cualesquiera del conjunto  , existe un elemento   del grupo que aplica el   en  , es decir:  [4]

ÓrbitaEditar

En teoría de grupos la órbita de un elemento   de un grupo  , es la clase de equivalencia   que contiene todos los elementos del grupo que se relacionan con   bajo una relación de equivalencia específica.

Un ejemplo es la relación en grupo   dada por   si y solo si   es conjugado a  ; esto es, si existe un elemento   del grupo tal que  .

La órbita de   son todos los elementos de   que pueden ser alcanzados mediante una conjugación desde  .

En este caso la órbita también se llama clase de conjugación del elemento.

Obsérvese que dos órbitas de dos elementos (diferentes tal vez) son iguales ssi los elementos son equivalentes . O bien dos órbitas son iguales o disjuntas.

Órbitas y estabilizadoresEditar

Con una acción de un grupo   en un conjunto   uno tiene los siguientes conceptos: para cada   tenemos el estabilizador de  

 

y que son los elementos del grupo que actúan trivialmente sobre el elemento  . Es un subgrupo de   y también es llamado subgrupo de isotropía que no necesariamente es un subgrupo normal.[5]

Y para el mismo  , la órbita:

 

que son los elementos del conjunto   que se alcanzan desde   por la acción de  .

Con estos dos conceptos tenemos:[6]

  • Hay una biyección  .[7]
  • Las diferentes órbitas forman una partición de  .
  • Si   entonces  , donde  .

Ecuación de claseEditar

Bajo estas circunstancias tenemos la descomposición orbital

 

que es una unión disjunta. Por lo que

 

Además de que los números  , siendo estos últimos los índices de los subgrupos  . Por lo que uno obtiene la proto-ecuación de clase (ecuación de clase):

 

Un caso especial de esta fórmula es cuando el grupo G actúa sobre sí mismo por conjugación:   y con esta uno obtiene la maquinaria efectiva para demostrar algunos resultados para los grupos finitos:[8]​ el teorema de Cauchy y los teoremas de Sylow.

ReferenciasEditar

  1. Reid, Miles (2005). Geometry and topology (en inglés). Cambridge, UK New York: Cambridge University Press. p. 170. ISBN 9780521613255. 
  2. Eie & Chang (2010). A Course on Abstract Algebra. p. 144. 
  3. Thurston, William (1980), The geometry and topology of three-manifolds, Princeton lecture notes (en inglés), p. 175 
  4. tom Dieck, Tammo (1987), Transformation groups, de Gruyter Studies in Mathematics 8, Berlin: Walter de Gruyter & Co., p. 29, ISBN 978-3-11-009745-0, MR 889050 
  5. Procesi, Claudio (2007). Lie Groups: An Approach through Invariants and Representations (en inglés). Springer Science & Business Media. p. 5. ISBN 9780387289298. Consultado el 10 de febrero de 2018. 
  6. Thurston, 1980, p. 176.
  7. Smith (2008). Introduction to abstract algebra. p. 253. 
  8. Eie & Chang (2010). A Course on Abstract Algebra. p. 145. 
  • N.I.Herstein
  • Serge Lang
  • Marshall Hall
  • Burnside
  • A.G.Kurosch
  • Gallian
  • Dorronsoro

Enlaces externosEditar