Matriz y determinante jacobianos

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En cálculo vectorial, la matriz Jacobiana de una función vectorial de varias variables es la matriz cuyos elementos son las derivadas parciales de primer orden de dicha función.

Suponga que es una función tal que sus derivadas parciales de primer orden existen en . Esta función función toma un punto y devuelve un vector . La matriz Jacobiana de , denotada por , está definida como una matriz de tamaño cuya -ésima entrada es

o de forma explícita

donde es la traspuesta del gradiente de la -ésima componente.

Esta matriz, cuyas entradas son funciones de , es denotada de diversas maneras, algunas de ellas son:

Cuando , la matriz Jacobiana es cuadrada por lo que su determinante es una función de , este determinante es conocido como el determinante Jacobiano de . El determinante Jacobiano aparece cuando se hace un cambio de variables en integrales múltiples.

Cuando , esto es, cuando es una función escalar de variables, entonces la matriz Jacobiana se reduce a un vector fila. Este vector fila con todas las derivadas parciales de primer orden de es la traspuesta del gradiente de , es decir, . Y cuando , esto es, cuando es una función escalar de una variable entonces la matriz Jacobiana sólo tiene una entrada, esta entrada es la derivada de la función .

En geometría algebraica, el jacobiano de una curva hace referencia a la variedad jacobiana, un grupo y variedad algebraica asociada a la curva, donde la curva puede ser embebida.

Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al matemático Carl Gustav Jacobi.

Matriz jacobianaEditar

La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable.

Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana, de diferencial jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la forma de la matriz dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases diferentes la aplicación lineal jacobiana tendrá componentes diferentes aún tratándose del mismo objeto matemático. La propiedad básica de la "matriz" jacobiana es la siguiente, dada una aplicación cualquiera   continua, es decir   se dirá que es diferenciable si existe una aplicación lineal   tal que:

 

Si   es un punto en   y   es diferenciable en   entonces su diferencial está dada por JF(p). En este caso, la aplicación lineal descrita por JF(p) es la mejor aproximación lineal de   cerca del punto  , de esta manera:

 

para   cerca de  . O con mayor precisión:

 

En ciertos espacios vectoriales de dimensión no finita, formados por funciones, puede generalizarse el concepto de matriz jacobiana definiendo una aplicación lineal jacobiana.

Determinante jacobianoEditar

Si   entonces   es una función que va de   a   y en este caso la matriz jacobiana es una matriz cuadrada, por lo que podemos calcular su determinante, este es conocido como el determinante jacobiano. El determinante jacobiano en ocasiones es conocido simplemente como “el Jacobiano”.

El determinante jacobiano en un punto dado nos da información importante sobre el comportamiento de   cerca de ese punto. Una función continuamente diferenciable   es invertible cerca del punto   si el determinante jacobiano en   es no nulo. Este es el teorema de la función inversa. Más aún, el valor absoluto del determinante en   nos da el factor con el cual   expande o contrae su volumen cerca de  .

InversaEditar

De acuerdo al teorema de la función inversa, la matriz inversa de la matriz Jacobiana de una función invertible es la matriz Jacobiana de la función inversa. Esto es, si el Jacobiano de una función   es continua y no singular en el punto   entonces   es invertible cuando se restringe a un entorno de   y

 

Si el determinante jacobiano es diferente de cero en un punto entonces la función es localmente invertible cerca de este punto, esto es, existe un entorno de este punto en el que la función es invertible.

Puntos CríticosEditar

Si   es una función diferenciable, un punto crítico de   es un punto en el que el rango de la matriz jacobiana es no maximal.

En el caso en que  , un punto es crítico si el determinante jacobiano es cero.

EjemplosEditar

Ejemplo 1Editar

La matriz jacobiana de la función   dada por

 

cuyas funciones componentes son

 

es

 

La matriz jacobiana NO siempre es cuadrada. Véase el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2Editar

Supóngase la función  , cuyas funciones componentes son:

 
 
 
 

tiene asociada como matriz jacobiana

 

Ejemplo 3: Transformación a coordenadas polaresEditar

La transformación de coordenadas polares   a coordenadas cartesianas   está dada por la función   cuyas componentes son

 

el jacobiano de   está dado por:

 

y el determinante del jacobiano es   pues

 

y esto puede ser utilizado para transformar integrales entre dos sistemas de coordenadas:

 

Ejemplo 4Editar

El determinante jacobiano de la función   dada por:

 

es:

 

El teorema de la función inversa garantiza que la función es localmente invertible en todo el dominio excepto quizá donde   ó   (es decir, los valores para los que el determinante se hace cero). Si imaginamos un objeto pequeño centrado en el punto (1,1,1) y le aplicamos F, tendremos un objeto aproximadamente 40 veces más voluminoso que el original.

Ejemplo 5Editar

Cambiando un poco la función anterior por ésta:

 

El determinante jacobiano quedará:

 

En este caso existen más valores que anulan al determinante. Por un lado  , y por otro:

  con  

Véase tambiénEditar

Enlaces externosEditar