Álgebra de Banach

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Un álgebra de Banach es un espacio de Banach que además es un álgebra sobre un cuerpo. Las álgebras de Banach aparecen en el análisis funcional.

Las siguientes secciones definen axiomáticamente las álgebras de Banach.

AxiomasEditar

Un álgebra compleja es un espacio vectorial A sobre el cuerpo complejo C en el que está definida una multiplicación que satisface

a1. Asociativa: u(vt)= (uv)t,
a2. Distributiva: (u + v)t = ut + vt, u(v + t) = uv + ut,
a3. Asociativa mixta: α(uv) = (αu)v= u(αv),

donde u, v, t son elementos arbitrarios de A y α un escalar cualquiera. Cuando, asimismo, A es un espacio de Banach respecto de una norma que cumple:

a4. ||uv|| ≤ ||u|| ||v|| (u ∈ A, v ∈ A),
a5. A contiene un elemento unidad, e, tal que ue = eu = u (u ∈ A),
a6. y ||e|| = 1,

entonces A se llama álgebra de Banach.

EjemploEditar

  • Sea C(K) el espacio de Banach de todas las funciones complejas sobre un espacio de Hausdorff compacto no vacío con la norma del supremo. Se define la multiplicación de manera usual :

 

Ello hace a C(K) un álgebra de Banach conmutativa; el elemento unidad es la función constante 1.

UsosEditar

Los espacios de Banach, lo mismo que las álgebras de Banach, se utilizan en la solución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Su estudio se realiza en las áreas de ingeniería, economía, física y en la propia matemática.

ReferenciasEditar

BibliografíaEditar

  • Rudin, W. Análisis funcional. 1979. Editorial Reverté S.A., impreso en España. ISBN 84-291-5115-X.
  • Merklen, Héctor A.: Estructuras algebraicas VII [Estructuras de álgebras] (1983), publicación de la Organización de los Estados Americanos, Washington D.F.
  • Nachbin, Leopoldo: Introduçāo à análise funcional: Espaços de Banach e cálculo difrencial (1976) publicación de Estados Americanos, Washington D.F.