Característica de Euler

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Nombre Imagen Característica
de Euler
Segmento Complete graph K2.svg 1
Circunferencia Cirklo.svg 0
Disco Disc Plain grey.svg 1
Esfera Sphere-wireframe.png 2
Тоro
(producto de dos círculos)
Torus illustration.png 0
Doble toro Double torus illustration.png −2
Тriple toro Triple torus illustration.png −4
Plano proyectivo
real
Steiners Roman.png 1
Banda de Möbius MobiusStrip-01.png 0
Botella de Klein KleinBottle-01.png 0
Dos esferas (desconectadas) Sphere-wireframe.pngSphere-wireframe.png 2 + 2 = 4
Tres esferas (desconectadas) Sphere-wireframe.pngSphere-wireframe.pngSphere-wireframe.png 2 + 2 + 2 = 6

En matemática y, en particular, en topología algebraica, la característica de Euler o característica de Euler-Poincaré es un invariante topológico, un número definido que sirve para describir la forma o la estructura de una clase de espacios topológicos. Es denotada generalmente por (la letra griega Ji).

La característica de Euler se definió originalmente para poliedros y se usó para probar varios teoremas sobre ellos, incluida la clasificación de los sólidos platónicos, que se ha descubierto que figuraba en un manuscrito inédito de 1537 obra de Francesco Maurolico.[1]Leonhard Euler, por quien se nombra el concepto, lo introdujo para los poliedros convexos de manera más general, pero no pudo probar rigurosamente que es un invariante.

Su conocida fórmula para los poliedros tiene la expresión siguiente:

En las matemáticas modernas, la característica de Euler surge del concepto de homología y, de forma más abstracta, del álgebra homológica, habiéndose extendido a la caracterización de todo tipo de superficies.

Característica de Euler en poliedrosEditar

La característica de Euler de un politopo de tres dimensiones (poliedro) se puede calcular usando la fórmula siguiente:

 

donde V, A y C son los números de vértices, de aristas y de caras, respectivamente. En particular, para cualquier poliedro homeomorfo a una esfera se tiene que

 

Por ejemplo, para un cubo se cumple que 6 + 8 - 12 = 2 y para un tetraedro a su vez 4 + 4 - 6= 2. La fórmula anterior también se llama la fórmula de Euler, que se puede demostrar por inducción matemática o correspondencia sobre una esfera.

Otros ejemplos se pueden encontrar en la siguiente tabla

Nombre Imagen Vértices
V
Aristas
A
Caras
C
Característica de Euler:
VA + C
Tetraedro   4 6 4 2
Cubo   8 12 6 2
Octaedro   6 12 8 2
Dodecaedro   20 30 12 2
Icosaedro   12 30 20 2

Un poliedro que no sea homeomorfo a una esfera, como el poliedro toroidal de la figura, que tiene 48 caras, 22 vértices y 70 aristas, el resultado obtenido es 22 - 70 + 48 = 0.

 

Tabla con las característica de Euler de otros poliedros

Nombre Imagen Vértices
V
Aristas
A
Caras
C
Característica de Euler :
VA + C
Tetrahemihexaedro   6 12 7 1
Octahemioctaedro   12 24 12 0
Cubohemioctaedro   12 24 10 −2
Gran Icosaedro   12 30 20 2

Generalización a las superficiesEditar

 
Esfera triangulada a partir de un icosaedro.

Una superficie compacta como la esfera, el toro, el bi-toro, un disco con borde, etc. surgen de deformar de forma continua un poliedro. Por ejemplo, si deformamos un icosaedro hasta obtener una esfera las aristas se transformarán en curvas sobre la esfera, las caras serán "triángulos" y los vértices serán puntos sobre las mismas. Así la esfera quedará "triangulada" (Véase triangulación). Para definir la característica de una superficie se usaran estas triangulaciones realizando la fórmula análoga χ(S) = Triángulos - Lados + Vértices. En realidad las triangulaciones no deben ser hechas necesariamente con triángulos, sino con cualquier polígono, teniendo en cuenta que dos polígonos solo compartan una arista como máximo, y que, si comparten un lado, solo compartan los dos vértices de ese lado. Así la generalización de la característica de Euler para una superficie cerrada S es

 

La característica de Euler de superficies orientadas cerradas se relaciona con su género g, que es un número que describe la cantidad de «asas» que tiene la superficie. La relación es dada por:

 

Por ejemplo: El toro (la rosquilla) tiene una asa y por lo tanto  .

Definición general y propiedadesEditar

Para un CW-complejo finito y en particular para un complejo simplicial finito, la característica de Euler se puede definir como la suma alternada

 

donde ki denota el número de células de dimensión i.

Entonces, se puede definir la característica de Euler de una variedad como la característica de Euler de un complejo simplicial homeomorfo a él. Por ejemplo, el círculo y el toro tienen característica de Euler 0 y las bolas sólidas tienen característica de Euler 1.


La característica de Euler es independiente de la triangulación. La fórmula se puede también utilizar para las descomposiciones en polígonos arbitrarios.

Para las variedades cerradas, la característica de Euler coincide con el número de Euler, es decir, la clase de Euler de su fibrado tangente evaluado en la clase fundamental de la variedad.

Para las variedades de Riemann cerradas, la característica de Euler puede encontrarse también integrando la curvatura -- vea el teorema de Gauss-Bonnet para el caso de dos dimensiones y el teorema de Gauss-Bonnet generalizado para el caso general. Un análogo discreto del teorema de Gauss-Bonnet es el teorema de Descartes que el "defecto total" de un poliedro, medido en círculos completos, es la característica de Euler del poliedro; véase defecto (geometría).

Más generalmente aún, para cualquier espacio topológico, podemos definir el n-ésimo número de Betti bn como el rango del n-ésimo grupo de homología. La característica de Euler se puede entonces definir como la suma alternada

 

Esta definición tiene sentido si los números de Betti son todos finitos y cero más allá de cierto índice n0.

Dos espacios topológicos que son equivalentes homotópicos tienen grupos isomorfos de homología y por lo tanto la misma característica de Euler.

De esta definición y la dualidad de Poincaré, se sigue que la característica de Euler de cualquier variedad cerrada de dimensión impar es cero.

Si M y N son espacios topológicos, entonces la característica de Euler de su producto M × N es

 .

Conjunto parcialmente ordenadoEditar

El concepto de característica de Euler de un poset finito acotado es otra generalización, importante en combinatoria. Un poset es acotado si tiene elementos mínimos y máximos, que podemos llamar 0 y 1. La característica de Euler de tal poset es μ(0,1), donde μ es la función de Möbius en el álgebra de incidencia de ese poset.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Friedman, Michael (2018). A History of Folding in Mathematics: Mathematizing the Margins 59. Birkhäuser. p. 71. ISBN 978-3-319-72486-7. doi:10.1007/978-3-319-72487-4. 

BibliografíaEditar

Enlaces externosEditar