Distribución χ

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En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución χ es un tipo de distribución de probabilidad continua. Es la distribución de la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de un conjunto de variables aleatorias independientes, cada una siguiendo un distribución normal estándar o, de manera equivalente, la distribución de la distancia euclidiana de las variables aleatorias desde el origen. Por lo tanto, se relaciona con la distribución χ² al describir la distribución de las raíces cuadradas positivas de una variable que obedece a una distribución chi-cuadrado.

Distribución χ (Chi)
Plot of the Chi PMF
Función de densidad de probabilidad
Plot of the Chi CMF
Función de distribución de probabilidad
Parámetros (degrees of freedom)
Dominio
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf)
Media
Mediana
Moda for
Varianza
Coeficiente de simetría
Curtosis
Entropía
Función generadora de momentos (mgf) Complicada (véase el texto)
Función característica Complicada (véase el texto)

Los ejemplos más familiares son la distribución de Rayleigh (distribución de chi con dos grados de libertad) y la distribución de Boltzmann de las velocidades moleculares en un gas ideal (distribución chi con tres grados de libertad).

Si son k variables aleatorias independientes, normalmente distribuidas con medias y desviaciones típicas , entonces la probabilidad asociada

se distribuye de acuerdo a la distribución chi. En consecuencia, al dividir por la media de la distribución chi (escalada por la raíz cuadrada de n − 1) se obtiene el factor de corrección del sesgo de la desviación típica de la distribución normal. La distribución chi tiene un parámetro: que especifica su número de grados de libertad (es decir, el número de ).

CaracterizaciónEditar

Función de densidad de probabilidadEditar

La función de densidad de probabilidad de la distribución chi es

 

donde   es la función gamma.

Función de distribución acumulativaEditar

La función de distribución acumulada está dada por:

 

donde   es la función gamma incompleta.

Generación de funcionesEditar

La función generadora de momentos viene dada por:

 

donde   es una función hipergeométrica confluente de Kummer. Su función característica está dada por:

 

PropiedadesEditar

MomentosEditar

El momento sin procesar viene dado por:

 

donde   es la función gamma. Los primeros momentos simples son:

 
 
 
 
 
 

donde las expresiones de la derecha de cada ecuación se deducen usando la relación de recurrencia para la función gamma:

 

De estas expresiones se pueden deducir las siguientes relaciones:

Media:  

Varianza:  

Sesgo:  

Exceso de kurtosis:  

EntropíaEditar

La entropía viene dada por:

 

donde   es la función poligamma.

Distribuciones relacionadasEditar

  • Si   entonces   (Distribución χ²)
  •   (Distribución normal)
  • Si   entonces  
  • Si   entonces   (Distribución seminormal) para cualquier  
  •   (Distribución de Rayleigh)
  •   (Distribución de Boltzmann)
  •   (La norma bidimensional de las   variables distribuidas normalmente es una distribución chi con   grados de libertad)
  • La distribución χ es un caso especial de distribución gamma generalizada o distribución de Nakagami o distribución χ descentrada
Varias distribuciones χ y χ²
Nombre Estadística
Distribución χ²  
Distribución χ² descentrada  
Distribución χ  
Distribución χ descentrada  

Véase tambiénEditar

BibliografíaEditar

  • Martha L. Abell, James P. Braselton, John Arthur Rafter, John A. Rafter, Statistics with Mathematica (1999), 237f.
  • Jan W. Gooch, Encyclopedic Dictionary of Polymers vol. 1 (2010), Appendix E, p. 972.

Enlaces externosEditar