Distribución χ²

En teoría de la probabilidad y en estadística, la distribución ji al cuadrado (también llamada distribución de Pearson o distribución $\chi ^{2}$) con $k\in \mathbb {N}$ grados de libertad es la distribución de la suma del cuadrado de $k$ variables aleatorias independientes con distribución normal estándar. La distribución chi cuadrada es un caso especial de la distribución gamma y es una de las distribuciones de probabilidad más usadas en Inferencia Estadística, principalmente en pruebas de hipótesis y en la construcción de intervalos de confianza.

Distribución χ² (ji al cuadrado)
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	$k\in \mathbb {N} \,$ grados de libertad
Dominio	$x\in (0,+\infty )$
Función de densidad (pdf)	${\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}\,$
Función de distribución (cdf)	${\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}\,$
Media	$k\,$
Mediana	aproximadamente $k-2/3\,$
Moda	$k-2\,$ si $k\geq 2\,$
Varianza	$2\,k\,$
Coeficiente de simetría	${\sqrt {8/k}}\,$
Curtosis	$3+12/k\,$
Entropía	${\frac {k}{2}}\!+\!\ln(2\Gamma (k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi (k/2)$
Función generadora de momentos (mgf)	$(1-2t)^{-k/2}$ para $2t<1\,$
Función característica	$(1-2it)^{-k/2}\,$

Definición

Como la suma de normales estándar

Sean $Z_{1},\dots ,Z_{k}$ variables aleatorias independientes tales que $Z_{i}\sim N(0,1)$ para $i=1,2,\dots ,k$ entonces la variable aleatoria $X$ definida por

${\begin{aligned}X&=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+\cdots +Z_{k}^{2}\\&=\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}\end{aligned}}$

tiene una distribución chi cuadrada con $k$ grados de libertad.

Notación

Si la variable aleatoria continua $X$ tiene una distribución Chi Cuadrada con $k$ grados de libertad entonces escribiremos $X\sim \chi _{k}^{2}$ o $X\sim \chi ^{2}(k)$.

Función de Densidad

Si $X\sim \chi _{k}^{2}$ entonces la función de densidad de la variable aleatoria $X$ es

$f_{X}(x)={\frac {\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {k}{2}}}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\,x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-x/2}$

para $x>0$ donde $\Gamma$ es la función gamma.

Función de Distribución Acumulada

Si $X\sim \chi _{k}^{2}$ entonces su función de distribución está dada por

$F_{X}(x)={\frac {\gamma \left({\frac {k}{2}},{\frac {x}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}$

donde $\gamma (k,z)$ es la función gamma incompleta.

En particular cuando $k=2$ entonces esta función toma la forma

$F_{X}(x)=1-e^{-x/2}$

Propiedades

Si $X\sim \chi _{k}^{2}$ entonces la variable aleatoria $X$ satisface algunas propiedades.

Media

La media de la variable aleatoria $X$ es

$\operatorname {E} [X]=k$

Varianza

La varianza de la variable aleatoria $X$ es

$\operatorname {Var} (X)=2k$

Función generadora de momentos

La función generadora de momentos de $X$ es

$M_{X}(t)=\left({\frac {1}{1-2t}}\right)^{k/2}$

para $2t<1$.

Teorema

Sea $X_{1},\dots ,X_{n}$ una muestra aleatoria proveniente de una población con distribución $N(\mu ,\sigma ^{2})$ entonces

1. ${\overline {X}}$ y el vector $\left(X_{1}-{\overline {X}},\dots ,X_{n}-{\overline {X}}\right)$ son independientes.
2. ${\overline {X}}$ y $S^{2}$ son independientes.
3. ${\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}$.
4. $\operatorname {E} [S^{2}]=\sigma ^{2}$ y $\operatorname {Var} (S^{2})={\frac {2\sigma ^{4}}{n-1}}$.

donde

${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$

y

$S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}$

son la media y varianza de la muestra aleatoria respectivamente.

Intervalos de confianza para muestras de la distribución normal

Intervalo para la varianza

Sean $X_{1},\dots ,X_{n}$ una muestra aleatoria proveniente de una población con distribución $N(\mu ,\sigma ^{2})$ donde $\mu$ y $\sigma ^{2}$ son desconocidos.

Se tiene que

${\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}$

Sean $\chi _{n-1,\alpha /2},\chi _{n-1,1-\alpha /2}\in \mathbb {R}$ tales que

$\operatorname {P} [\chi _{n-1,\alpha /2}<Y<\chi _{n-1,1-\alpha /2}]=1-\alpha$

siendo $Y\sim \chi _{n-1}^{2}$ entonces

${\begin{aligned}&\operatorname {P} \left[\chi _{n-1,\alpha /2}<{\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}<\chi _{n-1,1-\alpha /2}\right]=1-\alpha \\&\operatorname {P} \left[{\frac {1}{\chi _{n-1,\alpha /2}}}>{\frac {\sigma ^{2}}{(n-1)S^{2}}}>{\frac {1}{\chi _{n-1,1-\alpha /2}}}\right]=1-\alpha \\&\operatorname {P} \left[{\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{n-1,1-\alpha /2}}}<\sigma ^{2}<{\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{n-1,\alpha /2}}}\right]=1-\alpha \end{aligned}}$

por lo tanto un intervalo de $(1-\alpha )100\%$ de confianza para $\sigma ^{2}$ está dado por

$\left({\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{n-1,1-\alpha /2}}},{\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{n-1,\alpha /2}}}\right)$

Distribuciones Relacionadas

• La distribución $\chi ^{2}$ con $k$ grados de libertad es un caso particular de la distribución gamma pues si

$X\sim \Gamma \left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}}\right)$

entonces $X\sim \chi _{k}^{2}$.

• Cuando k es suficientemente grande, como consecuencia del teorema del límite central, puede aproximarse por una distribución normal:

$\lim _{k\to \infty }{\frac {\chi _{k}^{2}(x)}{k}}=N_{(1,{\sqrt {2/k}})}(x)$

Aplicaciones

La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística. La más conocida es la denominada prueba χ², utilizada como prueba de independencia y como prueba de buen ajuste y en la estimación de varianzas. Pero también está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student.

Aparece también en todos los problemas de análisis de varianza por su relación con la distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dos variables aleatorias independientes con distribución χ².

Véase esto también

• Tablas distribución chi-cuadrado
• Tabla de contingencia
• Coeficiente de contingencia
• Coeficiente phi
• Jean-Paul Benzécri

Véase también

• Distribución F
• Distribución t de Student
• Distribución normal

Enlaces externos

• Calculadora e la probabilidad de una distribución de Pearson con R (lenguaje de programación)
• DynStats: Laboratorio estadístico en línea con calculadora de funciones de distribución

• Datos: Q243462
• Multimedia: Chi-square distribution