Distribución χ²

En estadística, la distribución de Pearson, llamada también ji cuadrada(o) o chi cuadrado(a) (χ²), es una distribución de probabilidad continua con un parámetro $k$ que representa los grados de libertad de la variable aleatoria

Distribución χ² (ji-cuadrado)
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	$k>0\,$ grados de libertad
Dominio	$x\in [0;+\infty )\,$
Función de densidad (pdf)	${\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}\,$
Función de distribución (cdf)	${\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}\,$
Media	$k\,$
Mediana	aproximadamente $k-2/3\,$
Moda	$k-2\,$ if $k\geq 2\,$
Varianza	$2\,k\,$
Coeficiente de simetría	${\sqrt {8/k}}\,$
Curtosis	$12/k\,$
Entropía	${\frac {k}{2}}\!+\!\ln(2\Gamma (k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi (k/2)$
Función generadora de momentos (mgf)	$(1-2\,t)^{-k/2}$ for $2\,t<1\,$
Función característica	$(1-2\,i\,t)^{-k/2}\,$
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$X=Z_{1}^{2}+\cdots +Z_{k}^{2}$

Donde $Z_{i}$ son variables aleatorias normales independientes de media cero y varianza uno. El que la variable aleatoria $X$ tenga esta distribución se representa habitualmente así: $X\sim \chi _{k}^{2}$.

Índice

Propiedades

Función de densidad

Su función de densidad es:

$f(x;k)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\,x^{(k/2)-1}e^{-x/2}&{\text{para }}x>0,\\0&{\text{para }}x\leq 0\end{cases}}$

donde $\Gamma$ es la función gamma.

Demostración

La función densidad de $X_{1}=Z^{2}$ si Z es tipo N(0,1) viene dada por $P(x,x+dx)=f(x_{1})dx_{1}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-z^{2}/2}dz$ Despejando y teniendo en cuenta contribuciones positivas y negativas de z $f(x_{1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x_{1}/2}x_{1}^{-{\frac {18}{2}}}$ La función distribución de $X=X_{1}+X_{2}+...+X_{n}$ viene dada por su convolución $f(x;k)=f(x_{1})*f(x_{2})*...*f(x_{k})$ Aplicando transformada de Laplace ${\mathcal {L}}\left\{f(x;k)\right\}=({\mathcal {L}}\left\{f(x_{1})\right\})^{k}={\frac {1}{(2(s+{\frac {1}{2}}))^{\frac {k}{2}}}}$ Aplicando antitransformada se obtiene f(x;k) $f(x;k)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{(2(s+{\frac {1}{2}}))^{\frac {k}{2}}}}\right\}={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\,x^{(k/2)-1}e^{-x/2}$

Función de distribución acumulada

Su función de distribución es

$F_{k}(x)={\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}$

donde $\ \gamma (k,z)$ es la función gamma incompleta.

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, k y 2k.

Relación con otras distribuciones

La distribución χ² es un caso especial de la distribución gamma. De hecho, $X\sim \Gamma \left({\frac {k}{2}},\theta =1/2\right).$

Cuando k es suficientemente grande, como consecuencia del teorema central del límite, puede aproximarse por una distribución normal:

$\lim _{k\to \infty }{\frac {\chi _{k}^{2}(x)}{k}}=N_{(1,{\sqrt {2/k}})}(x)$

Aplicaciones

La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística. La más conocida es la de la denominada prueba χ² utilizada como prueba de independencia y como prueba de bondad de ajuste y en la estimación de varianzas. Pero también está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student.

Aparece también en todos los problemas de análisis de varianza por su relación con la distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dos variables aleatorias independientes con distribución χ².

Véase esto también

• Tablas distribución chi-cuadrado
• Tabla de contingencia
• Coeficiente de contingencia
• Coeficiente phi
• Jean-Paul Benzécri

Enlaces externos

• Calculadora e la probabilidad de una distribución de Pearson con R (lenguaje de programación)
• DynStats: Laboratorio estadístico online con calculadora de funciones de distribución