Distribución χ²

En teoría de la probabilidad y en estadística, la distribución chi cuadrada (también llamada distribución de Pearson o distribución ) con grados de libertad es la distribución de la suma del cuadrado de variables aleatorias independientes con distribución normal estándar. La distribución chi cuadrada es un caso especial de la distribución gamma y es una de las distribuciones de probabilidad más usadas en Inferencia Estadística, principalmente en pruebas de hipótesis y en la construcción de intervalos de confianza.

Distribución χ2 (ji-cuadrado)
Chi-square distributionPDF.png
Función de densidad de probabilidad
Chi-square distributionCDF.png
Función de distribución de probabilidad
Parámetros grados de libertad
Dominio
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf)
Media
Mediana aproximadamente
Moda si
Varianza
Coeficiente de simetría
Curtosis
Entropía
Función generadora de momentos (mgf) para
Función característica

DefiniciónEditar

Como la suma de normales estándarEditar

Sean   variables aleatorias independientes tales que   para   entonces la variable aleatoria   definida por

 

tiene una distribución chi cuadrada con   grados de libertad.

NotaciónEditar

Si la variable aleatoria continua   tiene una distribución Chi Cuadrada con   grados de libertad entonces escribiremos   o  .

Función de DensidadEditar

Si   entonces la función de densidad de la variable aleatoria   es

 

para   donde   es la función gamma.

Función de Distribución AcumuladaEditar

Si   entonces su función de distribución está dada por

 

donde   es la función gamma incompleta.

En particular cuando   entonces esta función toma la forma

 

PropiedadesEditar

Si   entonces la variable aleatoria   satisface algunas propiedades.

MediaEditar

La media de la variable aleatoria   es

 

VarianzaEditar

La varianza de la variable aleatoria   es

 

Función generadora de momentosEditar

La función generadora de momentos de   es

 

para  .

TeoremaEditar

Sea   una muestra aleatoria proveniente de una población con distribución   entonces

  1.   y el vector   son independientes.
  2.   y   son independientes.
  3.  .
  4.   y  .

donde

 

y

 

son la media y varianza de la muestra aleatoria respectivamente.

Intervalos de confianza para muestras de la distribución normalEditar

Intervalo para la varianzaEditar

Sean   una muestra aleatoria proveniente de una población con distribución   donde   y   son desconocidos.

Se tiene que

 

Sean   tales que

 

siendo   entonces

 

por lo tanto un intervalo de   de confianza para   está dado por

 

Distribuciones RelacionadasEditar

  • La distribución   con   grados de libertad es un caso particular de la distribución gamma pues si
 
entonces  .
 

AplicacionesEditar

La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística. La más conocida es la denominada prueba χ², utilizada como prueba de independencia y como prueba de buen ajuste y en la estimación de varianzas. Pero también está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student.

Aparece también en todos los problemas de análisis de varianza por su relación con la distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dos variables aleatorias independientes con distribución χ².

Véase esto también

Véase tambiénEditar

Enlaces externosEditar