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Distribución χ²

En estadística, la distribución de Pearson, llamada también ji cuadrada(o) o chi cuadrado(a) (χ²), es una distribución de probabilidad continua con un parámetro que representa los grados de libertad de la variable aleatoria

Distribución χ² (ji-cuadrado)
Chi-square distributionPDF.png
Función de densidad de probabilidad
Chi-square distributionCDF.png
Función de distribución de probabilidad
Parámetros grados de libertad
Dominio
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf)
Media
Mediana aproximadamente
Moda if
Varianza
Coeficiente de simetría
Curtosis
Entropía
Función generadora de momentos (mgf) for
Función característica

Donde son variables aleatorias normales independientes de media cero y varianza uno. El que la variable aleatoria tenga esta distribución se representa habitualmente así: .

Índice

PropiedadesEditar

Función de densidadEditar

Su función de densidad es:

 

donde   es la función gamma.

Demostración
La función densidad de   si Z es tipo N(0,1) viene dada por

 

Despejando y teniendo en cuenta contribuciones positivas y negativas de z

 

La función distribución de   viene dada por su convolución

 

Aplicando transformada de Laplace

 

Aplicando antitransformada se obtiene f(x;k)

 

Función de distribución acumuladaEditar

Su función de distribución es

 

donde   es la función gamma incompleta.

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, k y 2k.

Relación con otras distribucionesEditar

La distribución χ² es un caso especial de la distribución gamma. De hecho,  

Cuando k es suficientemente grande, como consecuencia del teorema central del límite, puede aproximarse por una distribución normal:

 

AplicacionesEditar

La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística. La más conocida es la de la denominada prueba χ² utilizada como prueba de independencia y como prueba de bondad de ajuste y en la estimación de varianzas. Pero también está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student.

Aparece también en todos los problemas de análisis de varianza por su relación con la distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dos variables aleatorias independientes con distribución χ².

Véase esto también

Enlaces externosEditar