Abrir menú principal

Paralelismo (matemática)

relación matemática
(Redirigido desde «Paralelas»)
Dos rectas paralelas.
Planos paralelos.

En la geometría paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos y demás). En el plano cartesiano dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente o son perpendiculares a uno de los ejes, por ejemplo la [[función En geometría afín, expresando una variedad lineal como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, se dice que A = a + F es paralela a B = b + G sii F está contenido en G o G está contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales de la misma variedad lineal V, y F y G son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial E. En el plano (afín) (V = ), esto se traduce de la siguiente manera: dos rectas son paralelas si contienen un mismo vector director.

Obsérvese que, en un espacio afín tridimensional, una recta y un plano pueden ser paralelos, y también que la coincidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo.

Así, dos rectas contenidas en un plano son paralelas si o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto.

De manera análoga, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y el mismo plano o bien no comparten ninguna recta.

Rectas paralelasEditar

 
Construcción de una línea paralela, a un punto dado, usando sólo regla y compás

Dos rectas son paralelas si por mucho que se prolonguen nunca se unen o cruzan.

Axioma de unicidadEditar

El axioma que distingue a la geometría euclidiana de otras geometrías es el siguiente:

En un plano, por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una paralela a dicha recta.

PropiedadesEditar

{{ap|Relación de equivalencia} plano, podemos definir la relación binaria:  , que representamos del siguiente modo:

 

Siendo a, b, c rectas en el plano P, se cumple:

  • Reflexiva: Toda recta es paralela a sí misma:
 
  • Simétrica: Si una recta es paralela a otra, aquella es paralela a la primera:
 

Estas dos propiedades se deducen de la intersección de conjuntos y no dependen del axioma de unicidad.

  • Transitiva: Si una recta es paralela a otra, y esta a su vez paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera:
 

Luego la relación de paralelismo entre rectas del plano es una relación de equivalencia.

Estas mismas propiedades se pueden comprobar en el conjunto de planos paralelos en el espacio.

TeoremasEditar

  • En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.
  • Si una recta corta a otra recta, entonces corta a todas las paralelas de esta (en un plano).

Las demostraciones de estos dos teoremas y de la tercera propiedad usan el axioma de unicidad.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar