Distribución exponencial

En Teoría de Probabilidad y Estadística, la distribución exponencial es una distribución continua que se utiliza para modelar tiempos de espera para la ocurrencia de un cierto evento. Esta distribución al igual que la distribución geométrica tiene la propiedad de pérdida de memoria. La distribución exponencial es un caso particular de la distribución gamma.

Distribución exponencial
Exponential pdf.svg
Función de densidad de probabilidad
Exponential cdf.svg
Función de distribución de probabilidad
Parámetros
Dominio
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf)
Media
Mediana
Moda
Varianza
Coeficiente de simetría
Curtosis
Entropía
Función generadora de momentos (mgf)
Función característica

DefiniciónEditar

Función de DensidadEditar

Se dice que una variable aleatoria continua   tiene una distribución exponencial con parámetro   y escribimos   si su función de densidad es

 

para  .

Función de DistribuciónEditar

Su función de distribución acumulada está dada por

 

para  .

Parametrización AlternativaEditar

La distribución exponencial en ocasiones se parametriza en términos del parámetro de escala   en cuya caso, la función de densidad será

 

para  .

Función de SupervivenciaEditar

De forma adicional esta distribución presenta una función adicional que es función Supervivencia (S), que representa el complemento de la Función de distribución.

 

PropiedadesEditar

Si   es una variable aleatoria tal que   entonces

La media de la variable aleatoria   es

 

La varianza de la variable aleatoria   es

 

El  -ésimo momento de la variable aleatoria   es

 

La función generadora de momentos de   para   está dada por

 

EscalaEditar

Si   es una variable aleatoria tal que   y   una constante entonces

 

Pérdida de MemoriaEditar

Sea   una variable aleatoria tal que   entonces para cualesquiera  

 

Esto puede demostrarse fácilmente pues

 

CuantilesEditar

La función cuantil (inversa de la función de distribución acumulada) para una variable aleatoria   está dada por

 

por lo que los cuantiles son:

El primer cuantil es

 

La mediana es

 

Y el tercer cuantil está dado por

 

EjemploEditar

Ejemplos para la distribución exponencial es la distribución de la longitud de los intervalos de una variable continua que transcurren entre dos sucesos, que se distribuyen según la distribución de Poisson.

  • El tiempo transcurrido en un centro de llamadas hasta recibir la primera llamada del día se podría modelar como una exponencial.
  • El intervalo de tiempo entre terremotos (de una determinada magnitud) sigue una distribución exponencial.
  • Supongamos una máquina que produce hilo de alambre, la cantidad de metros de alambre hasta encontrar una falla en el alambre se podría modelar como una exponencial.
  • En fiabilidad de sistemas, un dispositivo con tasa de fallo constante sigue una distribución exponencial.

Distribuciones RelacionadasEditar

  • Si   entonces  .
  • Si   entonces  .
  • Si   entonces  .
  • Si   son variables aleatorias independientes tales que  entonces  , donde   es la distribución de Erlang con parámetros   y  , esto es  . Es decir, la suma de   variables aleatorias independientes con distribución exponencial con parámetro   es una variable aleatoria con distribución de Erlang.
 
Distribución cumulativa ajustada a máximos anuales de lluvias diarias[1]

Inferencia EstadísticaEditar

Suponga que   es una variable aleatoria tal que   y   es una muestra proveniente de  .

Estimación de ParámetrosEditar

El estimador por máxima verosimilitud de   se construye como sigue:

La función de verosimilitud está dada por

 

donde

 

es la media muestral.

Tomando logaritmos a la función de verosimilitud

 

derivando respecto a   obtenemos

 

Si igualamos a   obtenemos el estimador   dado por

 

El estimador   es un estimador NO insesgado pues

 

AplicaciónEditar

En la hidrología, la distribución exponencial se emplea para analizar variables aleatorias extremos de variables como máximos mensuales y anuales de la precipitación diaria.[2]

Métodos computacionalesEditar

Generador de números pseudoaleatoriosEditar

Para obtener números pseudoaleatorios la variable aleatoria   con distribución exponencial y parámetro  , se utiliza un algoritmo basado en el método de la transformada inversa.

Para generar un valor de   a partir de una variable aleatoria   se utiliza el siguiente algoritmo

 

utilizando el hecho de que si   entonces   por lo que una versión más eficiente del algoritmo es

 

Véase tambiénEditar

SoftwareEditar

Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la exponencial, a una serie de datos:

ReferenciasEditar

  1. Cumfreq, a free computer program for cumulative frequency analysis and probability distribution fitting. [1]
  2. Ritzema (ed.), H.P. (1994). Frequency and Regression Analysis. Chapter 6 in: Drainage Principles and Applications, Publication 16, International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI), Wageningen, The Netherlands. pp. 175-224. ISBN 90-70754-33-9. 

Enlaces externosEditar