Distribución gamma
En teoría de probabilidad y Estadística, la distribución gamma es una distribución con dos parámetros que pertenece a las distribuciones de probabilidad continuas. La distribución exponencial, distribución de Erlang y la distribución χ² son casos particulares de la distribución gamma. Hay dos diferentes parametrizaciones que suelen usarse
- Con parámetro de forma y parámetro de escala .
- Con parámetro de forma y parámetro inverso de escala .
Gamma | ||
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Parámetros |
forma (real) forma (real) | |
Dominio | ||
Función de densidad (pdf) | ||
Función de distribución (cdf) | ||
Media | ||
Varianza | ||
Entropía | ||
Función generadora de momentos (mgf) | ||
Función característica | ||
DefiniciónEditar
Función de DensidadEditar
Se dice que una variable aleatoria continua tiene distribución gamma con parámetros y y escribimos si y sólo si la función de densidad para valores es
donde
es la función gamma y satisface
- Para cualquier se cumple que
- Si entonces
- Si entonces
Función de DistribuciónEditar
La función de distribución acumulada de una variable aleatoria está dada por
Si es una variable aleatoria tal que donde (es decir, tiene una distribución de Erlang) entonces su función de distribución acumulada está dada por
PropiedadesEditar
Si es una variable aleatoria tal que entonces
- La media de la variable aleatoria es
- La varianza de la variable aleatoria es
- El -ésimo momento la variable aleatoria es
- La función generadora de momentos para está dada por
Suma de GammasEditar
Si para son variables aleatorias independientes entonces
EscalaEditar
Si entonces para cualquier
Media LogarítmicaEditar
Puede demostrarse que
donde es la función digamma.
Cálculo de Probabilidades con REditar
Se puede utilizar el paquete estadístico para hallar los valores de la función de densidad y la función de distribución de una variable aleatoria continua .
Función de densidadEditar
Para , la función de densidad de la distribución Gamma está dada por
entonces para evaluar la función de densidad utilizamos el siguiente código
# d=density function
dgamma(x,α,λ)
Función de DistribuciónEditar
La función de distribución acumulada de la distribución Gamma está dada por
para , se puede utilizar el siguiente código para evaluar al función de distribución acumulada
# p=probability distribution function
pgamma(x,α,λ)
Distribuciones RelacionadasEditar
- Si son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tales que entonces , a esta distribución se le conoce como distribución de Erlang y es un caso particular de la distribución gamma cuando el parámetro .
- Si entonces .
- Si con entonces .
Véase tambiénEditar
Enlaces externosEditar
- Weisstein, Eric W. «GammaDistribution». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- [1] Archivado el 13 de abril de 2020 en la Wayback Machine. Calcular la probabilidad de una distribución Gamma con R (lenguaje de programación)