Distribución gamma

En teoría de probabilidad y Estadística, la distribución gamma es una distribución con dos parámetros que pertenece a las distribuciones de probabilidad continuas. La distribución exponencial, distribución de Erlang y la distribución χ² son casos particulares de la distribución gamma. Hay dos diferentes parametrizaciones que suelen usarse

  1. Con parámetro de forma y parámetro de escala .
  2. Con parámetro de forma y parámetro inverso de escala .
Gamma
Parámetros forma (real)
escala (real)
Dominio
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf)
Media
Moda ,
Varianza
Entropía
Función generadora de momentos (mgf)
Función característica
Función de Densidad de una Gamma.

DefiniciónEditar

NotaciónEditar

Si una variable aleatoria continua   tiene distribución gamma con parámetros   y   entonces escribiremos  .

Función de DensidadEditar

Si   entonces su función de densidad es

 

para   donde

 

es la función gamma y satisface

  1.  
  2. Para cualquier   se cumple que  
  3. Si   entonces  
  4.  
  5. Si   entonces  

Función de Densidad AcumuladaEditar

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria   está dada por

 

Si   es una variable aleatoria tal que   donde   (es decir,   tiene una distribución de Erlang) entonces su función de distribución acumulada está dada por

 

PropiedadesEditar

Si   es una variable aleatoria tal que   entonces   satisface algunas propiedades.

MediaEditar

La media de la variable aleatoria   es

 

VarianzaEditar

La varianza de la variable aleatoria   es

 

MomentosEditar

El  -ésimo momento de la variable aleatoria   es

 

para  .

Función generadora de momentosEditar

La función generadora de momentos está dada por

 

para  .

Suma de GammasEditar

Si   para   son variables aleatorias independientes entonces

 

EscalarEditar

Si   entonces para cualquier  

 

Media LogarítmicaEditar

Puede demostrarse que

 

donde   es la función digamma.

Cálculo de Probabilidades en REditar

Se puede utilizar R (lenguaje de programación) para hallar los valores de la función de densidad   y la función de distribución   de una variable aleatoria continua  .

Función de densidadEditar

Para  , la función de densidad de la distribución Gamma está dada por

 

entonces para evaluar la función de densidad   utilizamos el siguiente código

# d=density function
dgamma(x,α,λ)

Función de DistribuciónEditar

La función de distribución acumulada de la distribución Gamma está dada por

 

para  , se puede utilizar el siguiente código para evaluar al función de distribución acumulada  

# p=probability distribution function
pgamma(x,α,λ)

Distribuciones RelacionadasEditar

  • Si   son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tales que   entonces  , a esta distribución se le conoce como distribución de Erlang y es un caso particular de la distribución gamma cuando el parámetro  .
  • Si   entonces  .
  • Si   con   entonces  .

Véase tambiénEditar

Enlaces externosEditar