Distribución χ²

En estadística, la distribución de Pearson, llamada también ji cuadrada(o) o chi cuadrado(a) (χ²), es una distribución de probabilidad continua con un parámetro $k$ que representa los grados de libertad de la variable aleatoria

Distribución χ2 (ji-cuadrado)
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	$k>0\,$ grados de libertad
Dominio	$x\in [0;+\infty )\,$
Función de densidad (pdf)	${\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}\,$
Función de distribución (cdf)	${\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}\,$
Media	$k\,$
Mediana	aproximadamente $k-2/3\,$
Moda	$k-2\,$ si $k\geq 2\,$
Varianza	$2\,k\,$
Coeficiente de simetría	${\sqrt {8/k}}\,$
Curtosis	$12/k\,$
Entropía	${\frac {k}{2}}\!+\!\ln(2\Gamma (k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi (k/2)$
Función generadora de momentos (mgf)	$(1-2\,t)^{-k/2}$ para $2\,t<1\,$
Función característica	$(1-2\,i\,t)^{-k/2}\,$

$X=Z_{1}^{2}+\cdots +Z_{k}^{2}$

Donde $Z_{i}$ son variables aleatorias normales independientes de media cero y varianza uno. El que la variable aleatoria $X$ tenga esta distribución se representa habitualmente así: $X\sim \chi _{k}^{2}$.

La distribución -cuadrado se utiliza en las pruebas de chi-cuadrado para la bondad de ajuste de una distribución observada a una teórica, en el test de independencia de dos criterios de clasificación de los datos cualitativos, y en la estimación del intervalo de confianza para una desviación estándar de la población de una distribución normal de una desviación estándar de la muestra.

Propiedades

Función de densidad

Su función de densidad es:

$f(x;k)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\,x^{(k/2)-1}e^{-x/2}&{\text{para }}x>0,\\0&{\text{para }}x\leq 0\end{cases}}$

donde $\Gamma$ es la función gamma.

Demostración

La función densidad de $X_{1}=Z^{2}$ si Z es tipo N(0,1) viene dada por $P(x,x+dx)=f(x_{1})dx_{1}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-z^{2}/2}dz$ Despejando y teniendo en cuenta contribuciones positivas y negativas de z $f(x_{1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x_{1}/2}x_{1}^{-{\frac {1}{2}}}$ La función distribución de $X=X_{1}+X_{2}+...+X_{n}$ viene dada por su convolución $f(x;k)=f(x_{1})*f(x_{2})*...*f(x_{k})$ Aplicando transformada de Laplace ${\mathcal {L}}\left\{f(x;k)\right\}=({\mathcal {L}}\left\{f(x_{1})\right\})^{k}={\frac {1}{(2(s+{\frac {1}{2}}))^{\frac {k}{2}}}}$ Aplicando antitransformada se obtiene f(x;k) $f(x;k)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{(2(s+{\frac {1}{2}}))^{\frac {k}{2}}}}\right\}={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\,x^{(k/2)-1}e^{-x/2}$

Función de distribución acumulad

Su función de distribución es:

$F_{k}(x)={\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}$

donde $\ \gamma (k,z)$ es la función gamma incompleta.

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, k y 2k.

Relación con otras distribuciones

La distribución χ² es un caso especial de la distribución gamma. De hecho, $X\sim \Gamma \left({\frac {k}{2}},\theta =1/2\right).$

Cuando k es suficientemente grande, como consecuencia del teorema del límite central, puede aproximarse por una distribución normal:

$\lim _{k\to \infty }{\frac {\chi _{k}^{2}(x)}{k}}=N_{(1,{\sqrt {2/k}})}(x)$

Aplicaciones

La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística. La más conocida es la denominada prueba χ², utilizada como prueba de independencia y como prueba de buen ajuste y en la estimación de varianzas. Pero también está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student.

Aparece también en todos los problemas de análisis de varianza por su relación con la distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dos variables aleatorias independientes con distribución χ².

Véase esto también

• Tablas distribución chi-cuadrado
• Tabla de contingencia
• Coeficiente de contingencia
• Coeficiente phi
• Jean-Paul Benzécri

Enlaces externos

• Calculadora e la probabilidad de una distribución de Pearson con R (lenguaje de programación)
• DynStats: Laboratorio estadístico en línea con calculadora de funciones de distribución

• Datos: Q243462
• Multimedia: Chi-square distribution