Dominio (análisis matemático)

En análisis matemático, un dominio o región es un conjunto abierto conexo no vacío definido en un espacio topológico, en particular cualquier subconjunto abierto conexo no vacío del espacio de coordenadas reales Rⁿ o del espacio de coordenadas complejas Cⁿ. Este es un concepto diferente al del dominio de una función, aunque a menudo se usa para ese propósito, como por ejemplo, en ecuaciones en derivadas parciales y en el espacio de Sóbolev.

Dominios conexos (de izquierda a derecha): conexo (o mono-conexo), tri-conexo y tetra-conexo

La idea básica de un subconjunto conexo de un espacio data del siglo XIX, pero las definiciones precisas varían ligeramente de una generación a otra, de un autor a otro y de una edición a otra, a medida que los conceptos se desarrollaron y los términos se tradujeron entre obras en alemán, francés e inglés. En inglés, algunos autores usan el término dominio,​ otros usan el término región,​ algunos otros usan ambos términos indistintamente,​ y otros definen los dos términos de manera ligeramente diferente;​ algunos evitan la ambigüedad al ceñirse a una frase como "subconjunto abierto conexo no vacío".​ Una convención común es definir un "dominio" como un conjunto abierto conexo, pero una "región" como la unión de un dominio con ninguno, algunos o todos sus puntos de acumulación.​ Una región cerrada o dominio cerrado es la unión de un dominio y de todos sus puntos límite.

Se requieren varios grados de suavidad del límite del dominio para que se mantengan varias propiedades de funciones definidas en el dominio, como teoremas integrales (teorema de Green, teorema de Stokes), propiedades de espacio de Sóbolev y para definir medidas en el límite y los espacios de trazas (funciones generalizadas definidas en el límite). Los tipos de dominios comúnmente considerados son dominios con límite continuo, límite de contorno de Lipschitz, C¹, etc.

Un dominio acotado, como su nombre indica, es aquel que está acotado, mientras que un dominio exterior o dominio externo es el interior del complemento de un dominio acotado.

En análisis complejo, un dominio complejo (o simplemente dominio) es cualquier subconjunto abierto conexo del plano complejo C. Por ejemplo, todo el plano complejo es un dominio, al igual que el disco unidad abierto, el semiplano superior abierto, etc. A menudo, un dominio complejo sirve como dominio de definición de una función holomorfa. En el estudio de múltiples variables complejas, la definición de un dominio se amplía para incluir cualquier subconjunto abierto conexo de Cⁿ.

Notas históricas

Definición. Eine offene Punktmenge heißt zusammenhängend, wenn man sie nicht als Summe von zwei offenen Punktmengen darstellen kann. Eine offene zusammenhängende Punktmenge heißt ein Gebiet.

"Un conjunto abierto es conexo si no puede expresarse como la suma de dos conjuntos abiertos. Un conjunto conexo abierto se denomina dominio"

Constantin Carathéodory (Carathéodory, 1918, p. 222)

En esta definición, Carathéodory considera obviamente conjuntos no vacíos disjuntos. Según Hans Hahn,​ el concepto de dominio como un conjunto conexo abierto fue introducido por Constantin Carathéodory en su famoso libro (Carathéodory, 1918). Hahn también comenta que la palabra "Gebiet" ("Dominio ") se usó anteriormente de vez en cuando como sinónimo de conjunto abierto.​ El concepto aproximado es más antiguo. En el siglo XIX y principios del XX, los términos "dominio" y "región" a menudo se usaban de manera informal (a veces indistintamente) sin una definición explícita.​

Sin embargo, el término "dominio" se utilizó ocasionalmente para identificar conceptos estrechamente relacionados pero ligeramente diferentes. Por ejemplo, en su influyente monografía sobre ecuaciones diferenciales parciales elípticas, Carlo Miranda usa el término "región" para identificar un conjunto conexo abierto,​​ y reserva el término "dominio" para identificar un​ conjunto perfecto internamente conexo, cada punto del cual es un punto de acumulación de puntos interiores,​ siguiendo a su antiguo maestro Mauro Picone:​ de acuerdo con esta convención, si un conjunto A es una región, entonces su clausura A es un dominio.​

Ejemplos

Un ejemplo de un dominio (área gris) cuyo contorno incluye puntos no accesibles

• En la recta real $\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{1}$, los dominios son intervalos numéricos. El borde de tales dominios siempre son un conjunto de dos puntos como máximo.​
• Un dominio infinitamente conexo se puede obtener quitando de un disco de radio 2 círculos cerrados disjuntos con radios $1,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4^{2}}},\dots ,{\frac {1}{4^{n}}},\dots$ El borde de este dominio es la circunferencia del círculo de radio 2 y las circunferencias que delimitan los círculos eliminados.
• La región conexa simple ${\mathfrak {O}}$ puede tener un borde bastante complicado, que contiene puntos inaccesibles en el siguiente sentido: no hay una curva continua $f\colon \langle a;b\rangle \rightarrow {\overline {\mathfrak {O}}},$ donde $\langle a;b\rangle$ es un intervalo cerrado en el eje real de modo que las imágenes de todos los puntos del intervalo, excepto el punto $X=f(b)$ (perteneciente al borde de ${\mathfrak {O}}$), pertenecen al área ${\mathfrak {O}}.$ Dichos puntos serán, por ejemplo, los puntos del lado derecho del cuadrado en el dibujo adyacente, en el que se han eliminado segmentos perpendiculares alternados desde la parte inferior y superior quitando también los puntos de los lados del cuadrado, acercándose al lado derecho y con longitudes que tienden a la longitud del lado del cuadrado.​
• Cada dos puntos de un dominio ubicados en el plano complejo se pueden unir mediante una cadena poligonal.

Sea un área dada. Para cada $X\in {\mathfrak {O}}$, sea ${\mathfrak {F}}_{X}$ el conjunto de sus puntos en la región ${\mathfrak {O}},$ que son parte del polígono $X$. Para cada $X\in {\mathfrak {O}}$ el conjunto ${\mathfrak {F}}_{X}$ es abierto, porque si $A\in {\mathfrak {F}}_{X},$ entonces con el punto $X$ se puede conectar cualquier punto del polígono en la esfera $k(A,r)\subset {\mathfrak {O}}.$ Por otro lado, el conjunto:

${\mathfrak {O}}\setminus {\mathfrak {F}}_{X}=\bigcup _{Y\in {\mathfrak {O}}\setminus {\mathfrak {F}}_{X}}{\mathfrak {F}}_{Y}$

también es una colección abierta, por lo tanto, debido a al carácter conexo del conjunto ${\mathfrak {O}}$, el conjunto ${\mathfrak {O}}\setminus {\mathfrak {F}}_{X}=\varnothing ,$ o ${\mathfrak {F}}_{X}={\mathfrak {O}}$.​

• Esta propiedad es válida para regiones en el espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{n},n\geqslant 1$ y para regiones del espacio complejo $\mathbb {C} ^{n},n\geqslant 1,$, donde hay una poligonal que consta de un número finito de segmentos que conecta dos puntos cualesquiera del dominio.​
• La propiedad anterior también es válida para el dominio de cada espacio vectorial topológico.
• Cada colección abierta ${\mathfrak {O}}\subset \mathbb {C}$ es la suma de áreas, porque:

${\mathfrak {O}}=\bigcup _{X\in {\mathfrak {O}}}{\mathfrak {F}}_{X}.$

Véase también

• Poliedro analítico
• Conjunto de Caccioppoli
• Dominio de Lipschitz

Bibliografía

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• Datos: Q11235244