Poliedro uniforme estrellado

tipo de poliedro uniforme
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En la geometría, un poliedro uniforme estrellado es un poliedro uniforme autointersecado. A veces también se les llama poliedros uniformes no convexos. Pueden estar formado ya sea por polígonos no convexos, por figuras de vértice no convexas o por ambas.

Una exposición de poliedros uniformes en el Museo de Ciencias de Londres
El pequeño icosicosidodecaedro romo es un poliedro uniforme estrellado, con figura de vértice 35.5/2

El conjunto completo de los 57 poliedros uniformes estrellados no prismáticos incluye las 4 figuras regulares, llamadas sólidos de Kepler-Poinsot, 5 figuras cuasiregulares, y 48 figuras semiregulares.

Existen también dos conjuntos infinitos de prismas estrellados uniformes y antiprismas estrellados uniformes.

De la misma forma que los polígonos estrellados (no degenerados), con densidad mayor a 1, corresponden a polígonos circulares con partes sobrepuestas, los poliedros estrellados que no pasan por su centro tienen densidad mayor a 1, y corresponden a poliedros esféricos con partes sobrepuestas; hay 47 tales poliedros uniformes no prismáticos. Los 10 poliedros uniformes no prismáticos restantes, aquellos que pasan por el centro, son los hemipoliedros junto con el Monstruo de Miller, y no tienen densidades bien definidas.

Las formas no convexas se construyen a partir de triángulos de Schwarz.

Todos los poliedros uniformes están enlistados abajo por sus grupos de simetría, y subdivididos por sus disposiciones de vértices.

Los poliedros regulares se etiquetan por su Símbolo de Schläfli. Los demás poliedros uniformes no regulares están listados junto con su figura de vértice.

Nota: Para las formas no convexas siguientes, un descriptor adicional no uniforme se utiliza cuando la disposición de vértices de la envolvente convexa tiene la misma topología que una de estas, pero tiene caras no regulares. Por ejemplo, una forma cantelada no uniforme podría tener rectángulos creados en el lugar de las aristas, en vez de cuadrados.

Simetría diedralEditar

Ver Poliedro prismático uniforme.

Simetría tetraédricaEditar

 
Triángulos (3 3 2) en la esfera

Hay una forma no convexa, el tetrahemihexaedro que tiene simetría tetraédrica (con dominio fundamental del triángulo de Möbius (3 3 2)).

Hay dos triángulos de Schwarz que generan poliedros uniformes estrellados únicos: un triángulo rectángulo (32 3 3) y un triángulo general (32 3 3). El triángulo general (32 3 3) genera el octahemioctaedro, el cual se encuentra más adelante debido a su simetría octaédrica completa.

Configuración de vértices
(Envolvente convexa)
Formas no convexas
 
Tetraedro
 
 
Tetraedro rectificado
Octaedro
 
4.32.4.3
32 3 | 2
 
Tetraedro truncado
 
 
Tetraedro cantelado
(Cuboctaedro)
 
 
Tetraedro omnitruncado
(Octaedro truncado)
 
 
Tetraedro romo
(Icosaedro)
 

Simetría octaédricaEditar

 
Triángulos (4 3 2) en la esfera

Hay 8 formas convexas y 10 formas no convexas con simetría octaédrica (con dominio fundamental del triángulo de Möbius (4 3 2)).

Hay cuatro triángulos de Schwarz que generan formas no convexas, dos triángulos rectángulos (32 4 2) y (43 3 2), y dos triángulos generales (43 4 3), (32 4 4).

Configuración de vértices
(Envolvente convexa)
Formas no convexas
 
Cubo
 
 
Octaedro
 
 
Cuboctaedro
 
6.43.6.4
43 4 | 3
 
6.32.6.3
32 3 | 3
 
Cubo truncado
 
4.83.43.85
2 43 (32 42) |
 
83.3.83.4
3 4 | 43
 
4.32.4.4
32 4 | 2
 
Octaedro truncado
 
 
Rombicuboctaedro
 
4.8.43.8
2 4 (32 42) |
 
8.32.8.4
32 4 | 4
 
83.83.3
2 3 | 43
 
Cuboctaedro truncado
no uniforme
 
4.6.83
2 3 43 |
 
Cuboctaedro truncado
no uniforme
 
83.6.8
3 4 43 |
 
Cubo romo
 

Simetría icosaédricaEditar

 
Triángulos (5 3 2) en la esfera

Hay 8 formas convexas y 46 formas no convexas con simetría icosaédrica (con dominio fundamental de triángulo de Möbius (5 3 2)), o 47 formas no convexas si se incluye la figura de Skilling. Algunas de las formas romas no convexas tienen simetría reflexional en los vértices.

Configuración de vértices
(Envolvente convexa)
Formas no convexas
 
Icosaedro
 
{5,52}
 
{52,5}
 
{3,52}
 
Icosaedro truncado
no uniforme
 
10.10.52
2 52 | 5
 
3.103.52.107
52 3 | 53
 
3.4.53.4
53 3 | 2
 
4.103.43.107
2 53 (3/2 54) |
 
Icosaedro truncado
no uniforme
 
4.52.4.5
52 5 | 2
 
5.6.53.6
53 5 | 3
 
4.6.43.65
2 3 (54 52) |
 
Icosaedro truncado
no uniforme
 
35.52
| 52 3 3
 
Icosidodecaedro
 
3.10.32.10
 
5.10.54.10
 
3.52.3.52
2 | 3 52
 
52.103.53.103
53 52 | 53
 
3.103.32.103
3 3 | 53
 
5.52.5.52
2 | 5 52
 
6.52.6.53
53 52 | 3
 
5.6.54.6
54 5 | 3
 

Dodecaedro truncado
no uniforme

 
3.103.5.103
3 5 | 53
 
5.6.32.6
32 5 | 3
 
6.103.65.107
3 53 (32 52) |
 
Dodecaedro truncado
no uniforme
 
(35.53)/2
| 32 32 52
 
Dodecaedro
 
{52,3}
 
(3.52)3
3 | 52 3
 
(5.53)3
3 | 53 5
 
(3.5)3/2

32 | 3 5

 
Rombicosidodecaedro
 
5.10.32.10
32 5 | 5
 
4.10.43.109
2 5 32 52) |
 
5.103.103
2 5 | 53
 
Rombicosidodecaedro
no uniforme
 
6.6.52
2 52 | 3
 
Rombicosidodecaedro
no uniforme
 
6.52.6.3
52 3 | 3
 
3.10.53.10
53 3 | 5
 
6.10.65.109
3 5 (32 54) |
 
3.103.103
2 3 | 53
 
Rombicosidodecaedro
no uniforme
 
4.53.4.3.4.52.4.32
| 32 53 3 52
 
3.3.3.52.3.53
| 53 52 3
 
Figura de Skilling
(ver abajo)
 
Icosidodecaedro truncado
no uniforme
 
6.10.103
3 5 53 |
 
Icosidodecaedro truncado
no uniforme
 
4.109.103
2 5 53 |
 
Icosidodecaedro truncado
no uniforme
 
4.6.103
2 3 53 |
 
Dodecaedro romo
no uniforme
 
3.3.52.3.5
| 2 52 5
 
3.3.3.5.3.53
| 53 3 5
 
34.52
| 2 52 3
 
34.53
| 53 2 3
 
3.3.5.3.53
| 53 2 5
 
(34.52)/2
| 32 53 2

Casos degeneradosEditar

Coxeter identificó un número de poliedros estrellados degenerados creados por el método de construcción de Wythoff, que contienen aristas o vértices sobrepuestos. Estas formas degeneradas incluyen las siguientes:

Figura de SkillingEditar

Un último poliedro no convexo degenerado es el gran dirrombidodecaedro birromo, también conocido como la Figura de Skilling, la cual es de vértices uniformes, pero tiene parejas de aristas coincidiendo en el espacio, de manera que cuatro caras se unen en algunas aristas. Debido a esta propiedad, se considera un poliedro uniforme degenerado. Tiene simetría Ih.

 

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar


Enlaces externosEditar